Элемент. математика Примеры

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = n$ и $b = 1$ .

$\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$n - 1, n + 1, (n + 1) (n - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $n - 1$ является само значение $n - 1$ .

$(n - 1) = n - 1$

$(n - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $n + 1$ является само значение $n + 1$ .

$(n + 1) = n + 1$

$(n + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $n - 1$ является само значение $n - 1$ .

$(n - 1) = n - 1$

$(n - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $n - 1, n + 1, n + 1, n - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(n - 1) (n + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)}$ умножим на $(n - 1) (n + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)}$ на $(n - 1) (n + 1)$ .

$\frac{n}{n - 1} ((n - 1) (n + 1)) - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $n - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{n}{n - 1} ((n - 1) (n + 1)) - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$n (n + 1) - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$n \cdot n + n \cdot 1 - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $n$ на $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1 - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$n^{2} + n - \frac{4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $n + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{n + 1}$ в числитель.

$n^{2} + n + \frac{- 4}{n + 1} ((n - 1) (n + 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $n + 1$ из $(n - 1) (n + 1)$ .

$n^{2} + n + \frac{- 4}{n + 1} ((n + 1) (n - 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$n^{2} + n + \frac{- 4}{n + 1} ((n + 1) (n - 1)) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$n^{2} + n - 4 (n - 1) = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} + n - 4 n - 4 \cdot - 1 = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$n^{2} + n - 4 n + 4 = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.2.2

Вычтем $4 n$ из $n$ .

$n^{2} - 3 n + 4 = \frac{2}{(n + 1) (n - 1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(n - 1) (n + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(n - 1) (n + 1)$ из $(n + 1) (n - 1)$ .

$n^{2} - 3 n + 4 = \frac{2}{(n - 1) (n + 1) (1)} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$n^{2} - 3 n + 4 = \frac{2}{(n - 1) (n + 1) \cdot 1} ((n - 1) (n + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$n^{2} - 3 n + 4 = 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$n^{2} - 3 n + 4 - 2 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$n^{2} - 3 n + 2 = 0$

Этап 4.3

Разложим $n^{2} - 3 n + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(n - 2) (n - 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$n - 2 = 0$

$n - 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $n - 2$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $n - 2$ к $0$ .

$n - 2 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$n = 2$

Этап 4.6

Приравняем $n - 1$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $n - 1$ к $0$ .

$n - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$n = 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(n - 2) (n - 1) = 0$ верно.

$n = 2, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{n}{n - 1} - \frac{4}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1}$ истинным.

$n = 2$