Элемент. математика Примеры

$\frac{n^{2} - 2 n - 15}{n^{2} + 5 n - 6} - \frac{n - 5}{2 n - 2} = \frac{1}{2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $n^{2} - 2 n - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(n - 5) (n + 3)}{n^{2} + 5 n - 6} - \frac{n - 5}{2 n - 2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Разложим $n^{2} + 5 n - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $5$ .

$- 1, 6$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} - \frac{n - 5}{2 n - 2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 n - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 n$ .

$\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} - \frac{n - 5}{2 (n) - 2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} - \frac{n - 5}{2 (n) + 2 (- 1)} = \frac{1}{2}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (n) + 2 (- 1)$ .

$\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} = \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(n - 1) (n + 6), 2 (n - 1), 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 2, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.6

Множителем $n - 1$ является само значение $n - 1$ .

$(n - 1) = n - 1$

$(n - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $n + 6$ является само значение $n + 6$ .

$(n + 6) = n + 6$

$(n + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $n - 1$ является само значение $n - 1$ .

$(n - 1) = n - 1$

$(n - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $n - 1, n + 6, n - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(n - 1) (n + 6)$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (n - 1) (n + 6)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} = \frac{1}{2}$ умножим на $2 (n - 1) (n + 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} = \frac{1}{2}$ на $2 (n - 1) (n + 6)$ .

$\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} (2 (n - 1) (n + 6)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)} ((n - 1) (n + 6)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{(n - 5) (n + 3)}{(n - 1) (n + 6)}$ .

$\frac{2 ((n - 5) (n + 3))}{(n - 1) (n + 6)} ((n - 1) (n + 6)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $(n - 1) (n + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((n - 5) (n + 3))}{(n - 1) (n + 6)} ((n - 1) (n + 6)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 ((n - 5) (n + 3)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.4

Развернем $(n - 5) (n + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (n (n + 3) - 5 (n + 3)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (n \cdot n + n \cdot 3 - 5 (n + 3)) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (n \cdot n + n \cdot 3 - 5 n - 5 \cdot 3) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1.1

Умножим $n$ на $n$ .

$2 (n^{2} + n \cdot 3 - 5 n - 5 \cdot 3) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.5.1.2

Перенесем $3$ влево от $n$ .

$2 (n^{2} + 3 \cdot n - 5 n - 5 \cdot 3) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.5.1.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$2 (n^{2} + 3 n - 5 n - 15) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.5.2

Вычтем $5 n$ из $3 n$ .

$2 (n^{2} - 2 n - 15) - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n^{2} + 2 (- 2 n) + 2 \cdot - 15 - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 n^{2} - 4 n + 2 \cdot - 15 - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.7.2

Умножим $2$ на $- 15$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 - \frac{n - 5}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $2 (n - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{n - 5}{2 (n - 1)}$ в числитель.

$2 n^{2} - 4 n - 30 + \frac{- (n - 5)}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$2 n^{2} - 4 n - 30 + \frac{- (n - 5)}{2 (n - 1)} (2 (n - 1) (n + 6)) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$2 n^{2} - 4 n - 30 - (n - 5) (n + 6) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n^{2} - 4 n - 30 + (- n - - 5) (n + 6) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.10

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 + (- n + 5) (n + 6) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.11

Развернем $(- n + 5) (n + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n (n + 6) + 5 (n + 6) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n \cdot n - n \cdot 6 + 5 (n + 6) = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n \cdot n - n \cdot 6 + 5 n + 5 \cdot 6 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1.1

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1.1.1

Перенесем $n$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 - (n \cdot n) - n \cdot 6 + 5 n + 5 \cdot 6 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.12.1.1.2

Умножим $n$ на $n$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n^{2} - n \cdot 6 + 5 n + 5 \cdot 6 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.12.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n^{2} - 6 n + 5 n + 5 \cdot 6 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.12.1.3

Умножим $5$ на $6$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n^{2} - 6 n + 5 n + 30 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.1.12.2

Добавим $- 6 n$ и $5 n$ .

$2 n^{2} - 4 n - 30 - n^{2} - n + 30 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим противоположные члены в $2 n^{2} - 4 n - 30 - n^{2} - n + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Добавим $- 30$ и $30$ .

$2 n^{2} - 4 n - n^{2} - n + 0 = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $2 n^{2} - 4 n - n^{2} - n$ и $0$ .

$2 n^{2} - 4 n - n^{2} - n = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $n^{2}$ из $2 n^{2}$ .

$n^{2} - 4 n - n = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $n$ из $- 4 n$ .

$n^{2} - 5 n = \frac{1}{2} (2 (n - 1) (n + 6))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (n - 1) (n + 6)$ .

$n^{2} - 5 n = \frac{1}{2} (2 ((n - 1) (n + 6)))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$n^{2} - 5 n = \frac{1}{2} (2 ((n - 1) (n + 6)))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$n^{2} - 5 n = (n - 1) (n + 6)$

Этап 3.3.2

Развернем $(n - 1) (n + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} - 5 n = n (n + 6) - 1 (n + 6)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} - 5 n = n \cdot n + n \cdot 6 - 1 (n + 6)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$n^{2} - 5 n = n \cdot n + n \cdot 6 - 1 n - 1 \cdot 6$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $n$ на $n$ .

$n^{2} - 5 n = n^{2} + n \cdot 6 - 1 n - 1 \cdot 6$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $n$ .

$n^{2} - 5 n = n^{2} + 6 \cdot n - 1 n - 1 \cdot 6$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$n^{2} - 5 n = n^{2} + 6 n - n - 1 \cdot 6$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$n^{2} - 5 n = n^{2} + 6 n - n - 6$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $n$ из $6 n$ .

$n^{2} - 5 n = n^{2} + 5 n - 6$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $n^{2}$ из обеих частей уравнения.

$n^{2} - 5 n - n^{2} = 5 n - 6$

Этап 4.1.2

Вычтем $5 n$ из обеих частей уравнения.

$n^{2} - 5 n - n^{2} - 5 n = - 6$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $n^{2} - 5 n - n^{2} - 5 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $n^{2}$ из $n^{2}$ .

$- 5 n + 0 - 5 n = - 6$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- 5 n$ и $0$ .

$- 5 n - 5 n = - 6$

Этап 4.1.4

Вычтем $5 n$ из $- 5 n$ .

$- 10 n = - 6$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 10 n = - 6$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 10 n = - 6$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 n}{- 10} = \frac{- 6}{- 10}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 n}{- 10} = \frac{- 6}{- 10}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 6}{- 10}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$n = \frac{- 2 (3)}{- 10}$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$n = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 5}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$n = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 5}$

Этап 4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$n = \frac{3}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$n = \frac{3}{5}$

Десятичная форма:

$n = 0.6$