Элемент. математика Примеры

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1.2

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $45$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{5 \cdot 9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{9}{45} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 + 1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 1.6

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$45, (4 n - 3) \cdot (4 n + 1), 4 n + 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Простыми множителями $45$ являются $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

У $45$ есть множители: $3$ и $15$ .

$3 \cdot 15$

Этап 2.3.2

У $15$ есть множители: $3$ и $5$ .

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $45, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Этап 2.6

Умножим $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 \cdot 5$

Этап 2.6.2

Умножим $9$ на $5$ .

$45$

Этап 2.7

Множителем $4 n - 3$ является само значение $4 n - 3$ .

$(4 n - 3) = 4 n - 3$

$(4 n - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $4 n + 1$ является само значение $4 n + 1$ .

$(4 n + 1) = 4 n + 1$

$(4 n + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $4 n - 3, 4 n + 1, 4 n + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(4 n - 3) (4 n + 1)$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$45 (4 n - 3) (4 n + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ умножим на $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ на $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $45$ из $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$10 ((4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(4 n - 3) (4 n + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (4 n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 (4 \cdot 4 n \cdot n + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $n$ .

$10 (4 \cdot 4 (n \cdot n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$10 (4 \cdot 4 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 3$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $12 n$ из $4 n$ .

$10 (16 n^{2} - 8 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (16 n^{2}) + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $16$ на $10$ .

$160 n^{2} + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $- 8$ на $10$ .

$160 n^{2} - 80 n + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Умножим $10$ на $- 3$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.7

Объединим $45$ и $\frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Сократим общий множитель.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.1.8.2

Перепишем это выражение.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $- 30$ и $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \frac{n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.3.1.2

Объединим $45$ и $\frac{n}{4 n + 1}$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $4 n + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $4 n + 1$ из $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n - 3)$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n) + 45 n \cdot - 3$

Этап 3.3.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n + 45 n \cdot - 3$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $- 3$ на $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n - 135 n$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 (n \cdot n) - 135 n$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $n$ на $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n^{2} - 135 n$

Этап 3.3.2.2

Умножим $45$ на $4$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 180 n^{2} - 135 n$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $180 n^{2}$ из обеих частей уравнения.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} = - 135 n$

Этап 4.1.2

Добавим $135 n$ к обеим частям уравнения.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} + 135 n = 0$

Этап 4.1.3

Вычтем $180 n^{2}$ из $160 n^{2}$ .

$- 20 n^{2} - 80 n + 15 + 135 n = 0$

Этап 4.1.4

Добавим $- 80 n$ и $135 n$ .

$- 20 n^{2} + 55 n + 15 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 20 n^{2} + 55 n + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 20 n^{2}$ .

$- 5 (4 n^{2}) + 55 n + 15 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 5$ из $55 n$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) + 15 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 5$ из $15$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 (- 3)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 n$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $- 11$ как $1$ плюс $- 12$

$- 5 (4 n^{2} + (1 - 12) n - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (4 n^{2} + 1 n - 12 n - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$- 5 (4 n^{2} + n - 12 n - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 5 ((4 n^{2} + n) - 12 n - 3) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 5 (n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 n + 1$ .

$- 5 ((4 n + 1) (n - 3)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $4 n + 1$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $4 n + 1$ к $0$ .

$4 n + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $4 n + 1 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 n = - 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $4 n = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 n = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$n = - \frac{1}{4}$

Этап 4.5

Приравняем $n - 3$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $n - 3$ к $0$ .

$n - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$n = 3$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$ верно.

$n = - \frac{1}{4}, 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ истинным.

$n = 3$