Элемент. математика Примеры

$2 + \frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{{(3 k - 6)}^{2}}$

Этап 1

Перенесем все члены без $k$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{{(3 k - 6)}^{2}} - 2$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k$ .

$\frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{{(3 (k) - 6)}^{2}} - 2$

Этап 1.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{{(3 k + 3 \cdot - 2)}^{2}} - 2$

Этап 1.2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 k + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{{(3 (k - 2))}^{2}} - 2$

Этап 1.2.1.2

Применим правило умножения к $3 (k - 2)$ .

$\frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{3^{2} {(k - 2)}^{2}} - 2$

Этап 1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{5}{3 k - 6} = \frac{- 2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$

Этап 1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{3 k - 6} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$

Этап 2

Вынесем множитель $3$ из $3 k - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k$ .

$\frac{5}{3 (k) - 6} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{5}{3 k + 3 \cdot - 2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 k + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{5}{3 (k - 2)} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 (k - 2), 9 {(k - 2)}^{2}, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 3.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.6

НОК $3, 9, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 3$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 3.8

Множителем $k - 2$ является само значение $k - 2$ .

$(k - 2) = k - 2$

$(k - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.9

Множители $k - 2$ — это $(k - 2) \cdot (k - 2)$ , то есть $k - 2$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(k - 2) = (k - 2) \cdot (k - 2)$

$(k - 2)$ встречается $2$ раз.

Этап 3.10

НОК $k - 2, {(k - 2)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(k - 2)}^{2}$

Этап 3.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$9 {(k - 2)}^{2}$

Этап 4

Каждый член в $\frac{5}{3 (k - 2)} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$ умножим на $9 {(k - 2)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{5}{3 (k - 2)} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} - 2$ на $9 {(k - 2)}^{2}$ .

$\frac{5}{3 (k - 2)} (9 {(k - 2)}^{2}) = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \frac{5}{3 (k - 2)} {(k - 2)}^{2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (3) \frac{5}{3 (k - 2)} {(k - 2)}^{2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 3 \frac{5}{3 (k - 2)} {(k - 2)}^{2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{5}{k - 2} {(k - 2)}^{2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{5}{k - 2}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{k - 2} {(k - 2)}^{2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15}{k - 2} {(k - 2)}^{2} = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $k - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $k - 2$ из ${(k - 2)}^{2}$ .

$\frac{15}{k - 2} ((k - 2) (k - 2)) = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{k - 2} ((k - 2) (k - 2)) = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$15 (k - 2) = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$15 k + 15 \cdot - 2 = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.2.7

Умножим $15$ на $- 2$ .

$15 k - 30 = - \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $9 {(k - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{9 {(k - 2)}^{2}}$ в числитель.

$15 k - 30 = \frac{- 2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$15 k - 30 = \frac{- 2}{9 {(k - 2)}^{2}} (9 {(k - 2)}^{2}) - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$15 k - 30 = - 2 - 2 (9 {(k - 2)}^{2})$

Этап 4.3.1.2

Умножим $9$ на $- 2$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 {(k - 2)}^{2}$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $- 2 - 18 {(k - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем ${(k - 2)}^{2}$ в виде $(k - 2) (k - 2)$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 ((k - 2) (k - 2))$

Этап 5.1.1.2

Развернем $(k - 2) (k - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k (k - 2) - 2 (k - 2))$

Этап 5.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k \cdot k + k \cdot - 2 - 2 (k - 2))$

Этап 5.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k \cdot k + k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2)$

Этап 5.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k^{2} + k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2)$

Этап 5.1.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $k$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k^{2} - 2 \cdot k - 2 k - 2 \cdot - 2)$

Этап 5.1.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k^{2} - 2 k - 2 k + 4)$

Этап 5.1.1.3.2

Вычтем $2 k$ из $- 2 k$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 (k^{2} - 4 k + 4)$

Этап 5.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$15 k - 30 = - 2 - 18 k^{2} - 18 (- 4 k) - 18 \cdot 4$

Этап 5.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.5.1

Умножим $- 4$ на $- 18$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 k^{2} + 72 k - 18 \cdot 4$

Этап 5.1.1.5.2

Умножим $- 18$ на $4$ .

$15 k - 30 = - 2 - 18 k^{2} + 72 k - 72$

Этап 5.1.2

Вычтем $72$ из $- 2$ .

$15 k - 30 = - 18 k^{2} + 72 k - 74$

Этап 5.2

Поскольку $k$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 18 k^{2} + 72 k - 74 = 15 k - 30$

Этап 5.3

Перенесем все члены с $k$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $15 k$ из обеих частей уравнения.

$- 18 k^{2} + 72 k - 74 - 15 k = - 30$

Этап 5.3.2

Вычтем $15 k$ из $72 k$ .

$- 18 k^{2} + 57 k - 74 = - 30$

Этап 5.4

Добавим $30$ к обеим частям уравнения.

$- 18 k^{2} + 57 k - 74 + 30 = 0$

Этап 5.5

Добавим $- 74$ и $30$ .

$- 18 k^{2} + 57 k - 44 = 0$

Этап 5.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 18 k^{2} + 57 k - 44$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 18 k^{2}$ .

$- (18 k^{2}) + 57 k - 44 = 0$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $57 k$ .

$- (18 k^{2}) - (- 57 k) - 44 = 0$

Этап 5.6.1.3

Перепишем $- 44$ в виде $- 1 (44)$ .

$- (18 k^{2}) - (- 57 k) - 1 \cdot 44 = 0$

Этап 5.6.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (18 k^{2}) - (- 57 k)$ .

$- (18 k^{2} - 57 k) - 1 \cdot 44 = 0$

Этап 5.6.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (18 k^{2} - 57 k) - 1 (44)$ .

$- (18 k^{2} - 57 k + 44) = 0$

Этап 5.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 18 \cdot 44 = 792$ , а сумма — $b = - 57$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 57$ из $- 57 k$ .

$- (18 k^{2} - 57 k + 44) = 0$

Этап 5.6.2.1.1.2

Запишем $- 57$ как $- 24$ плюс $- 33$

$- (18 k^{2} + (- 24 - 33) k + 44) = 0$

Этап 5.6.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (18 k^{2} - 24 k - 33 k + 44) = 0$

Этап 5.6.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((18 k^{2} - 24 k) - 33 k + 44) = 0$

Этап 5.6.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (6 k (3 k - 4) - 11 (3 k - 4)) = 0$

Этап 5.6.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 k - 4$ .

$- ((3 k - 4) (6 k - 11)) = 0$

Этап 5.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 k - 4) (6 k - 11) = 0$

Этап 5.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 k - 4 = 0$

$6 k - 11 = 0$

Этап 5.8

Приравняем $3 k - 4$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $3 k - 4$ к $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Этап 5.8.2

Решим $3 k - 4 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 k = 4$

Этап 5.8.2.2

Разделим каждый член $3 k = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Разделим каждый член $3 k = 4$ на $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.8.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Этап 5.9

Приравняем $6 k - 11$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Приравняем $6 k - 11$ к $0$ .

$6 k - 11 = 0$

Этап 5.9.2

Решим $6 k - 11 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$6 k = 11$

Этап 5.9.2.2

Разделим каждый член $6 k = 11$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Разделим каждый член $6 k = 11$ на $6$ .

$\frac{6 k}{6} = \frac{11}{6}$

Этап 5.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 k}{6} = \frac{11}{6}$

Этап 5.9.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{11}{6}$

Этап 5.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 k - 4) (6 k - 11) = 0$ верно.

$k = \frac{4}{3}, \frac{11}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$k = \frac{4}{3}, \frac{11}{6}$

Десятичная форма:

$k = 1.\overline{3}, 1.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$k = 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{5}{6}$