Элемент. математика Примеры

$m^{2} = \sqrt{m}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{m} = m^{2}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{m}}^{2} = {(m^{2})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{m}$ в виде $m^{\frac{1}{2}}$ .

${(m^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m^{2})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(m^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(m^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(m^{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(m^{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$m^{1} = {(m^{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$m = {(m^{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(m^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = m^{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$m = m^{4}$

Этап 4

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $m^{4}$ из обеих частей уравнения.

$m - m^{4} = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $m$ из $m - m^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $m$ в степень $1$ .

$m - m^{4} = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $m$ из $m^{1}$ .

$m \cdot 1 - m^{4} = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $m$ из $- m^{4}$ .

$m \cdot 1 + m (- m^{3}) = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $m$ из $m \cdot 1 + m (- m^{3})$ .

$m (1 - m^{3}) = 0$

Этап 4.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$m (1^{3} - m^{3}) = 0$

Этап 4.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = m$ .

$m ((1 - m) (1^{2} + 1 m + m^{2})) = 0$

Этап 4.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$m ((1 - m) (1 + 1 m + m^{2})) = 0$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $m$ на $1$ .

$m ((1 - m) (1 + m + m^{2})) = 0$

Этап 4.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$m (1 - m) (1 + m + m^{2}) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$m = 0$

$1 - m = 0$

$1 + m + m^{2} = 0$

Этап 4.4

Приравняем $m$ к $0$ .

$m = 0$

Этап 4.5

Приравняем $1 - m$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $1 - m$ к $0$ .

$1 - m = 0$

Этап 4.5.2

Решим $1 - m = 0$ относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- m = - 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $- m = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- m = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- m}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{m}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$m = 1$

Этап 4.6

Приравняем $1 + m + m^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $1 + m + m^{2}$ к $0$ .

$1 + m + m^{2} = 0$

Этап 4.6.2

Решим $1 + m + m^{2} = 0$ относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $m$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$m = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$m = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$m = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$m = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$m = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$m = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $m (1 - m) (1 + m + m^{2}) = 0$ верно.

$m = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$