Элемент. математика Примеры

$- \sqrt{y - 1} = y$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{y - 1})}^{2} = y^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 1}$ в виде ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Этап 2.2.1.3

Умножим ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = y^{2}$

Этап 2.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{2}$

Этап 2.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 1)}^{1} = y^{2}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

$y - 1 = y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y - 1 - y^{2} = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$