Элемент. математика Примеры

$\sqrt{7 y^{2} + 27 y} = \sqrt{3 y^{2} + 40}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 y^{2} + 27 y}}^{2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y^{2} + 27 y}$ в виде ${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 y^{2} + 27 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 y^{2} + 27 y)}^{1} = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$7 y^{2} + 27 y = {\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${\sqrt{3 y^{2} + 40}}^{2}$ в виде $3 y^{2} + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 y^{2} + 40}$ в виде ${(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 y^{2} + 27 y = {({(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$7 y^{2} + 27 y = {(3 y^{2} + 40)}^{1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

$7 y^{2} + 27 y = 3 y^{2} + 40$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$7 y^{2} + 27 y - 3 y^{2} = 40$

Этап 3.1.2

Вычтем $3 y^{2}$ из $7 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 27 y = 40$

Этап 3.2

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} + 27 y - 40 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 40 = - 160$ , а сумма — $b = 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $27$ из $27 y$ .

$4 y^{2} + 27 (y) - 40 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $27$ как $- 5$ плюс $32$

$4 y^{2} + (- 5 + 32) y - 40 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} - 5 y + 32 y - 40 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 y^{2} - 5 y) + 32 y - 40 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y (4 y - 5) + 8 (4 y - 5) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 y - 5$ .

$(4 y - 5) (y + 8) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 y - 5 = 0$

$y + 8 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $4 y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $4 y - 5$ к $0$ .

$4 y - 5 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $4 y - 5 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 y = 5$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $4 y = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 y = 5$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{4}$

Этап 3.6

Приравняем $y + 8$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y + 8$ к $0$ .

$y + 8 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$y = - 8$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 y - 5) (y + 8) = 0$ верно.

$y = \frac{5}{4}, - 8$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{5}{4}, - 8$

Десятичная форма:

$y = 1.25, - 8$

Форма смешанных чисел:

$y = 1 \frac{1}{4}, - 8$