Элемент. математика Примеры

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 = - 14 (2 y - 1)$

Этап 1

Упростим $- 14 (2 y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 = 0 + 0 - 14 (2 y - 1)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 = - 14 (2 y - 1)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 = - 14 (2 y) - 14 \cdot - 1$

Этап 1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $2$ на $- 14$ .

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 = - 28 y - 14 \cdot - 1$

Этап 1.4.2

Умножим $- 14$ на $- 1$ .

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 = - 28 y + 14$

Этап 2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $28 y$ к обеим частям уравнения.

$8 {(2 y - 1)}^{2} + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(2 y - 1)}^{2}$ в виде $(2 y - 1) (2 y - 1)$ .

$8 ((2 y - 1) (2 y - 1)) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.2

Развернем $(2 y - 1) (2 y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 y (2 y - 1) - 1 (2 y - 1)) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 - 1 (2 y - 1)) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 (2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$8 (2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$8 (2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (4 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 (4 y^{2} - 2 y - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (4 y^{2} - 2 y - 2 y - 1 \cdot - 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 (4 y^{2} - 2 y - 2 y + 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $2 y$ из $- 2 y$ .

$8 (4 y^{2} - 4 y + 1) + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (4 y^{2}) + 8 (- 4 y) + 8 \cdot 1 + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $4$ на $8$ .

$32 y^{2} + 8 (- 4 y) + 8 \cdot 1 + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.5.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$32 y^{2} - 32 y + 8 \cdot 1 + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.2.5.3

Умножим $8$ на $1$ .

$32 y^{2} - 32 y + 8 + 5 + 28 y = 14$

Этап 2.3

Добавим $- 32 y$ и $28 y$ .

$32 y^{2} - 4 y + 8 + 5 = 14$

Этап 2.4

Добавим $8$ и $5$ .

$32 y^{2} - 4 y + 13 = 14$

Этап 3

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$32 y^{2} - 4 y + 13 - 14 = 0$

Этап 4

Вычтем $14$ из $13$ .

$32 y^{2} - 4 y - 1 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 32 \cdot - 1 = - 32$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y$ .

$32 y^{2} - 4 y - 1 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $- 4$ как $4$ плюс $- 8$

$32 y^{2} + (4 - 8) y - 1 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$32 y^{2} + 4 y - 8 y - 1 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(32 y^{2} + 4 y) - 8 y - 1 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 y (8 y + 1) - (8 y + 1) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 y + 1$ .

$(8 y + 1) (4 y - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 y + 1 = 0$

$4 y - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $8 y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $8 y + 1$ к $0$ .

$8 y + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $8 y + 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 y = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $8 y = - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $8 y = - 1$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{8}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{8}$

Этап 8

Приравняем $4 y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $4 y - 1$ к $0$ .

$4 y - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $4 y - 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 y = 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $4 y = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $4 y = 1$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 y + 1) (4 y - 1) = 0$ верно.

$y = - \frac{1}{8}, \frac{1}{4}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{1}{8}, \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$y = - 0.125, 0.25$