Элемент. математика Примеры

$\frac{6 y}{y + 2} - 6 = \frac{y - 8}{y - 2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 2, 1, y - 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $y + 2$ является само значение $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $y + 2, y - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 2) (y - 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{6 y}{y + 2} - 6 = \frac{y - 8}{y - 2}$ умножим на $(y + 2) (y - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{6 y}{y + 2} - 6 = \frac{y - 8}{y - 2}$ на $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{6 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2)) - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2)) - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 y (y - 2) - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y \cdot y + 6 y \cdot - 2 - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $y$ .

$6 (y \cdot y) + 6 y \cdot - 2 - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$6 y^{2} + 6 y \cdot - 2 - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 2$ на $6$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 ((y + 2) (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(y + 2) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y (y - 2) + 2 (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.6

Объединим противоположные члены в $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Изменим порядок множителей в членах $y \cdot - 2$ и $2 y$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.6.2

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.6.3

Добавим $y \cdot y$ и $0$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y \cdot y + 2 \cdot - 2) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Умножим $y$ на $y$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y^{2} + 2 \cdot - 2) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 (y^{2} - 4) = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y^{2} - 12 y - 6 y^{2} - 6 \cdot - 4 = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.1.9

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$6 y^{2} - 12 y - 6 y^{2} + 24 = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.2

Объединим противоположные члены в $6 y^{2} - 12 y - 6 y^{2} + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $6 y^{2}$ из $6 y^{2}$ .

$- 12 y + 0 + 24 = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 12 y$ и $0$ .

$- 12 y + 24 = \frac{y - 8}{y - 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y + 2) (y - 2)$ .

$- 12 y + 24 = \frac{y - 8}{y - 2} ((y - 2) (y + 2))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 12 y + 24 = \frac{y - 8}{y - 2} ((y - 2) (y + 2))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 12 y + 24 = (y - 8) (y + 2)$

Этап 2.3.2

Развернем $(y - 8) (y + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 y + 24 = y (y + 2) - 8 (y + 2)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 y + 24 = y \cdot y + y \cdot 2 - 8 (y + 2)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 y + 24 = y \cdot y + y \cdot 2 - 8 y - 8 \cdot 2$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$- 12 y + 24 = y^{2} + y \cdot 2 - 8 y - 8 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- 12 y + 24 = y^{2} + 2 \cdot y - 8 y - 8 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$- 12 y + 24 = y^{2} + 2 y - 8 y - 16$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $8 y$ из $2 y$ .

$- 12 y + 24 = y^{2} - 6 y - 16$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} - 6 y - 16 = - 12 y + 24$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $12 y$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 6 y - 16 + 12 y = 24$

Этап 3.2.2

Добавим $- 6 y$ и $12 y$ .

$y^{2} + 6 y - 16 = 24$

Этап 3.3

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 6 y - 16 - 24 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $24$ из $- 16$ .

$y^{2} + 6 y - 40 = 0$

Этап 3.5

Разложим $y^{2} + 6 y - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $6$ .

$- 4, 10$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 4) (y + 10) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 4 = 0$

$y + 10 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $y - 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $y - 4$ к $0$ .

$y - 4 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

Этап 3.8

Приравняем $y + 10$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $y + 10$ к $0$ .

$y + 10 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$y = - 10$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 4) (y + 10) = 0$ верно.

$y = 4, - 10$