Элемент. математика Примеры

$\frac{y}{y^{2} - 8 y + 15} + \frac{y}{y^{2} - 9} = \frac{y}{y^{2} - 2 y - 15}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $y^{2} - 8 y + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} + \frac{y}{y^{2} - 9} = \frac{y}{y^{2} - 2 y - 15}$

Этап 1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} + \frac{y}{y^{2} - 3^{2}} = \frac{y}{y^{2} - 2 y - 15}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{y}{y^{2} - 2 y - 15}$

Этап 1.4

Разложим $y^{2} - 2 y - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(y - 5) (y - 3), (y + 3) (y - 3), (y - 5) (y + 3)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y - 5$ является само значение $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y - 3$ является само значение $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y + 3$ является само значение $y + 3$ .

$(y + 3) = y + 3$

$(y + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $y - 3$ является само значение $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $y - 5$ является само значение $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

Множителем $y + 3$ является само значение $y + 3$ .

$(y + 3) = y + 3$

$(y + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $y - 5, y - 3, y + 3, y - 3, y - 5, y + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 5) (y - 3) (y + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)}$ умножим на $(y - 5) (y - 3) (y + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)}$ на $(y - 5) (y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(y - 5) (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{(y - 5) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y (y + 3) + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 3 + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y \cdot 3 + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$y^{2} + 3 \cdot y + \frac{y}{(y + 3) (y - 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $(y - 3) (y + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $(y - 3) (y + 3)$ из $(y + 3) (y - 3)$ .

$y^{2} + 3 y + \frac{y}{(y - 3) (y + 3) (1)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $(y - 3) (y + 3)$ из $(y - 5) (y - 3) (y + 3)$ .

$y^{2} + 3 y + \frac{y}{(y - 3) (y + 3) (1)} ((y - 3) (y + 3) (y - 5)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 3 y + \frac{y}{(y - 3) (y + 3) \cdot 1} ((y - 3) (y + 3) (y - 5)) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 3 y + y (y - 5) = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 3 y + y \cdot y + y \cdot - 5 = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + 3 y + y^{2} + y \cdot - 5 = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.1.8

Перенесем $- 5$ влево от $y$ .

$y^{2} + 3 y + y^{2} - 5 y = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 3 y - 5 y = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $5 y$ из $3 y$ .

$2 y^{2} - 2 y = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y - 3) (y + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(y - 5) (y + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(y - 5) (y + 3)$ из $(y - 5) (y - 3) (y + 3)$ .

$2 y^{2} - 2 y = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y + 3) (y - 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 y^{2} - 2 y = \frac{y}{(y - 5) (y + 3)} ((y - 5) (y + 3) (y - 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 y^{2} - 2 y = y (y - 3)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 2 y = y \cdot y + y \cdot - 3$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} - 2 y = y^{2} + y \cdot - 3$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $y$ .

$2 y^{2} - 2 y = y^{2} - 3 y$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} - 2 y - y^{2} = - 3 y$

Этап 4.1.2

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$2 y^{2} - 2 y - y^{2} + 3 y = 0$

Этап 4.1.3

Вычтем $y^{2}$ из $2 y^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + 3 y = 0$

Этап 4.1.4

Добавим $- 2 y$ и $3 y$ .

$y^{2} + y = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y \cdot y + y = 0$

Этап 4.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y \cdot y + y = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot y + y \cdot 1 = 0$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$y (y + 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 4.5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (y + 1) = 0$ верно.

$y = 0, - 1$