Элемент. математика Примеры

$\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$

Этап 1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}}^{4} = {(- y)}^{4}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}$ в виде ${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- y)}^{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y^{2} - 3)}^{1} = {(- y)}^{4}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$4 y^{2} - 3 = {(- y)}^{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(- y)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $- y$ .

$4 y^{2} - 3 = {(- 1)}^{4} y^{4}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$4 y^{2} - 3 = 1 y^{4}$

Этап 2.3.1.3

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$4 y^{2} - 3 = y^{4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} - 3 - y^{4} = 0$

Этап 3.2

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- u^{2} + 4 u - 3 = 0$

$u = y^{2}$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + 4 u - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 4 u - 3 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $4 u$ .

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 3 = 0$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - (- 4 u)$ .

$- (u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - 4 u) - 1 (3)$ .

$- (u^{2} - 4 u + 3) = 0$

Этап 3.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разложим $u^{2} - 4 u + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 3) (u - 1)) = 0$

Этап 3.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 3) (u - 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 3.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 3) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 3, 1$

Этап 3.8

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = 3$

${(y^{2})}^{1} = 1$

Этап 3.9

Решим первое уравнение относительно $y$ .

$y^{2} = 3$

Этап 3.10

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Этап 3.10.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{3}$

Этап 3.10.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{3}$

Этап 3.10.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3.11

Решим второе уравнение относительно $y$ .

${(y^{2})}^{1} = 1$

Этап 3.12

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Избавимся от скобок.

$y^{2} = 1$

Этап 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm 1$

Этап 3.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 1$

Этап 3.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 1$

Этап 3.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 1, - 1$

Этап 3.13

Решением $- y^{4} + 4 y^{2} - 3 = 0$ является $y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$ .

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$ истинным.

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Десятичная форма:

$y = - 1.73205080 \dots, - 1$