Элемент. математика Примеры

$y^{\frac{1}{2}} - 7 y^{\frac{1}{4}} + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $y^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(y^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{2} - 7 y^{\frac{1}{4}} + 12 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = y^{\frac{1}{4}}$ . Подставим $u$ вместо $y^{\frac{1}{4}}$ для всех.

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} - 7 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $y^{\frac{1}{4}}$ .

$(y^{\frac{1}{4}} - 4) (y^{\frac{1}{4}} - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $y^{\frac{1}{4}} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $y^{\frac{1}{4}} - 4$ к $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{4}} = 4$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = 4^{4}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 4^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 4^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = 4^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$y = 4^{4}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$y = 256$

Этап 4

Приравняем $y^{\frac{1}{4}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $y^{\frac{1}{4}} - 3$ к $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{4}} = 3$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = 3^{4}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = 3^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$y = 3^{4}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$y = 81$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y^{\frac{1}{4}} - 4) (y^{\frac{1}{4}} - 3) = 0$ верно.

$y = 256, 81$