Элемент. математика Примеры

$\frac{\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}}}{\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}} = \frac{1}{64}$

Этап 1

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}) = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $1 \cdot (\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}}$ на $1$ .

$\sqrt{6^{y} + 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Этап 1.2.1.2

Добавим $6^{y}$ и $6^{y}$ .

$\sqrt{2 \cdot 6^{y} + 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Этап 1.2.1.3

Добавим $2 \cdot 6^{y}$ и $6^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим $\sqrt{3^{y} + 3^{y} + 3^{y}} \cdot (64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Добавим $3^{y}$ и $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{2 \cdot 3^{y} + 3^{y}} \cdot 64$

Этап 1.3.1.2

Добавим $2 \cdot 3^{y}$ и $3^{y}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3 \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Этап 1.3.1.3

Умножим $3$ на $3^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1} \cdot 3^{y}} \cdot 64$

Этап 1.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = \sqrt{3^{1 + y}} \cdot 64$

Этап 1.3.1.4

Перенесем $64$ влево от $\sqrt{3^{1 + y}}$ .

$\sqrt{3 \cdot 6^{y}} = 64 \sqrt{3^{1 + y}}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 \cdot 6^{y}}}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 \cdot 6^{y}}$ в виде ${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 \cdot 6^{y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 \cdot 6^{y})}^{1} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$3 \cdot 6^{y} = {(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(64 \sqrt{3^{1 + y}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $64 \sqrt{3^{1 + y}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 64^{2} {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Возведем $64$ в степень $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{3^{1 + y}}}^{2}$ в виде $3^{1 + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3^{1 + y}}$ в виде $3^{\frac{1 + y}{2}}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 {(3^{\frac{1 + y}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{1 + y}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.2.3

Объединим $\frac{1 + y}{2}$ и $2$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{\frac{(1 + y) \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.1.2.4.2

Разделим $1 + y$ на $1$ .

$3 \cdot 6^{y} = 4096 \cdot 3^{1 + y}$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3 \cdot 6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Этап 4.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\ln (3 \cdot 6^{y})$ в виде $\ln (3) + \ln (6^{y})$ .

$\ln (3) + \ln (6^{y}) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Этап 4.2.2

Развернем $\ln (6^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$

Этап 4.3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $\ln (4096 \cdot 3^{1 + y})$ в виде $\ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3^{1 + y})$

Этап 4.3.2

Развернем $\ln (3^{1 + y})$ , вынося $1 + y$ из логарифма.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим $\ln (4096) + (1 + y) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + 1 \ln (3) + y \ln (3)$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $\ln (3)$ на $1$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096) + \ln (3) + y \ln (3)$

Этап 4.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (4096 \cdot 3) + y \ln (3)$

Этап 4.4.1.3

Умножим $4096$ на $3$ .

$\ln (3) + y \ln (6) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Этап 4.5

Изменим порядок $\ln (3)$ и $y \ln (6)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = \ln (12288) + y \ln (3)$

Этап 4.6

Изменим порядок $\ln (12288)$ и $y \ln (3)$ .

$y \ln (6) + \ln (3) = y \ln (3) + \ln (12288)$

Этап 4.7

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (6) + \ln (3) - y \ln (3) - \ln (12288) = 0$

Этап 4.8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3}{12288}) = 0$

Этап 4.9

Сократим общий множитель $3$ и $12288$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{12288}) = 0$

Этап 4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12288$ .

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Этап 4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4096}) = 0$

Этап 4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$y \ln (6) - y \ln (3) + \ln (\frac{1}{4096}) = 0$

Этап 4.10

Вычтем $\ln (\frac{1}{4096})$ из обеих частей уравнения.

$y \ln (6) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Этап 4.11

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (6) - y \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (6)$ .

$y (\ln (6)) - y \ln (3) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Этап 4.11.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (3)$ .

$y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Этап 4.11.3

Вынесем множитель $y$ из $y (\ln (6)) + y (- 1 \ln (3))$ .

$y (\ln (6) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Этап 4.12

Перепишем $- 1 \ln (3)$ в виде $- \ln (3)$ .

$y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$

Этап 4.13

Разделим каждый член $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ на $\ln (6) - \ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Разделим каждый член $y (\ln (6) - \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{4096})$ на $\ln (6) - \ln (3)$ .

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Этап 4.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1

Сократим общий множитель $\ln (6) - \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\ln (6) - \ln (3))}{\ln (6) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Этап 4.13.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Этап 4.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{\ln (\frac{1}{4096})}{\ln (6) - \ln (3)}$

Десятичная форма:

$y = 12$