Элемент. математика Примеры

$\frac{2}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = \frac{5 y - 1}{y^{2} - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = \frac{5 y - 1}{y^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{2}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, y + 1, (y + 1) (y - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y - 1$ является само значение $y - 1$ .

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y + 1$ является само значение $y + 1$ .

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y - 1$ является само значение $y - 1$ .

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $y - 1, y + 1, y + 1, y - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 1) (y + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)}$ умножим на $(y - 1) (y + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)}$ на $(y - 1) (y + 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y + 1)) + \frac{3}{y + 1} ((y - 1) (y + 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y + 1)) + \frac{3}{y + 1} ((y - 1) (y + 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (y + 1) + \frac{3}{y + 1} ((y - 1) (y + 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 2 \cdot 1 + \frac{3}{y + 1} ((y - 1) (y + 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y + 2 + \frac{3}{y + 1} ((y - 1) (y + 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $(y - 1) (y + 1)$ .

$2 y + 2 + \frac{3}{y + 1} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 y + 2 + \frac{3}{y + 1} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 y + 2 + 3 (y - 1) = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 2 + 3 y + 3 \cdot - 1 = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 y + 2 + 3 y - 3 = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $2 y$ и $3 y$ .

$5 y + 2 - 3 = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$5 y - 1 = \frac{5 y - 1}{(y + 1) (y - 1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(y - 1) (y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(y - 1) (y + 1)$ из $(y + 1) (y - 1)$ .

$5 y - 1 = \frac{5 y - 1}{(y - 1) (y + 1) (1)} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$5 y - 1 = \frac{5 y - 1}{(y - 1) (y + 1) \cdot 1} ((y - 1) (y + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$5 y - 1 = 5 y - 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$5 y - 1 - 5 y = - 1$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $5 y - 1 - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $5 y$ из $5 y$ .

$0 - 1 = - 1$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 = - 1$

Этап 4.2

Поскольку $- 1 = - 1$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $y$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$