Элемент. математика Примеры

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{4 y^{2} - 1} = 0$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{{(2 y)}^{2} - 1} = 0$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{{(2 y)}^{2} - 1^{2}} = 0$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 1$ .

$\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y + 1, 2 y - 1, (2 y + 1) (2 y - 1), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $2 y + 1$ является само значение $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $2 y - 1$ является само значение $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 y + 1$ является само значение $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $2 y - 1$ является само значение $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $2 y + 1, 2 y - 1, 2 y + 1, 2 y - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 y + 1) (2 y - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} = 0$ умножим на $(2 y + 1) (2 y - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{2 y + 1} - \frac{2}{2 y - 1} - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} = 0$ на $(2 y + 1) (2 y - 1)$ .

$\frac{3}{2 y + 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 y + 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 (2 y - 1) - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 y) + 3 \cdot - 1 - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 y + 3 \cdot - 1 - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 y - 3 - \frac{2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{2 y - 1}$ в числитель.

$6 y - 3 + \frac{- 2}{2 y - 1} ((2 y + 1) (2 y - 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $2 y - 1$ из $(2 y + 1) (2 y - 1)$ .

$6 y - 3 + \frac{- 2}{2 y - 1} ((2 y - 1) (2 y + 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$6 y - 3 + \frac{- 2}{2 y - 1} ((2 y - 1) (2 y + 1)) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$6 y - 3 - 2 (2 y + 1) - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot 1 - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 y - 3 - 4 y - 2 \cdot 1 - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$6 y - 3 - 4 y - 2 - \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.9

Сократим общий множитель $(2 y + 1) (2 y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y + 3}{(2 y + 1) (2 y - 1)}$ в числитель.

$6 y - 3 - 4 y - 2 + \frac{- (y + 3)}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.9.2

Сократим общий множитель.

$6 y - 3 - 4 y - 2 + \frac{- (y + 3)}{(2 y + 1) (2 y - 1)} ((2 y + 1) (2 y - 1)) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.9.3

Перепишем это выражение.

$6 y - 3 - 4 y - 2 - (y + 3) = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y - 3 - 4 y - 2 - y - 1 \cdot 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.1.11

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 y - 3 - 4 y - 2 - y - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4 y$ из $6 y$ .

$2 y - 3 - 2 - y - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $y$ из $2 y$ .

$y - 3 - 2 - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.2.3

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$y - 5 - 3 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.2.2.3.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$y - 8 = 0 ((2 y + 1) (2 y - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(2 y + 1) (2 y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = 0 (2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим противоположные члены в $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $2 y \cdot - 1$ и $1 (2 y)$ .

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) - 1 \cdot 2 y + 1 \cdot 2 y + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 1 \cdot 2 y$ и $1 \cdot 2 y$ .

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.1.3

Добавим $2 y (2 y)$ и $0$ .

$y - 8 = 0 (2 y (2 y) + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y - 8 = 0 (2 \cdot 2 y \cdot y + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Перенесем $y$ .

$y - 8 = 0 (2 \cdot 2 (y \cdot y) + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.2.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y - 8 = 0 (2 \cdot 2 y^{2} + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y - 8 = 0 (4 y^{2} + 1 \cdot - 1)$

Этап 3.3.2.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y - 8 = 0 (4 y^{2} - 1)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $0$ на $4 y^{2} - 1$ .

$y - 8 = 0$

Этап 4

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = 8$