Элемент. математика Примеры

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} - 5 y - 3}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 y$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} - 5 (y) - 3}$

Этап 1.1.2

Запишем $- 5$ как $1$ плюс $- 6$

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + (1 - 6) y - 3}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + 1 y - 6 y - 3}$

Этап 1.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{2 y^{2} + y - 6 y - 3}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y^{2} + y) - 6 y - 3}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{y (2 y + 1) - 3 (2 y + 1)}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 1$ .

$\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y + 1, y - 3, (2 y + 1) (y - 3)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $2 y + 1$ является само значение $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y - 3$ является само значение $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 y + 1$ является само значение $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

$(2 y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $y - 3$ является само значение $y - 3$ .

$(y - 3) = y - 3$

$(y - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $2 y + 1, y - 3, 2 y + 1, y - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 y + 1) (y - 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$ умножим на $(2 y + 1) (y - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{2 y + 1} - \frac{y}{y - 3} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)}$ на $(2 y + 1) (y - 3)$ .

$\frac{4}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 3)) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 3)) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (y - 3) - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 4 \cdot - 3 - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$4 y - 12 - \frac{y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{y - 3}$ в числитель.

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((2 y + 1) (y - 3)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $y - 3$ из $(2 y + 1) (y - 3)$ .

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((y - 3) (2 y + 1)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$4 y - 12 + \frac{- y}{y - 3} ((y - 3) (2 y + 1)) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$4 y - 12 - y (2 y + 1) = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y - 12 - y (2 y) - y \cdot 1 = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot 1 = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1.1

Перенесем $y$ .

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.8.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 y - 12 - 1 \cdot 2 y^{2} - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 y - 12 - 2 y^{2} - y = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.2.2

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$3 y - 12 - 2 y^{2} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(2 y + 1) (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 y - 12 - 2 y^{2} = \frac{- 3 y^{2} + 3 y + 37}{(2 y + 1) (y - 3)} ((2 y + 1) (y - 3))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y - 12 - 2 y^{2} = - 3 y^{2} + 3 y + 37$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $3 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} = 3 y + 37$

Этап 4.1.2

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y = 37$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $3 y - 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $3 y$ из $3 y$ .

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} + 0 = 37$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2}$ и $0$ .

$- 12 - 2 y^{2} + 3 y^{2} = 37$

Этап 4.1.4

Добавим $- 2 y^{2}$ и $3 y^{2}$ .

$- 12 + y^{2} = 37$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 37 + 12$

Этап 4.2.2

Добавим $37$ и $12$ .

$y^{2} = 49$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{49}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{7^{2}}$

Этап 4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 7$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 7$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 7$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 7, - 7$