Элемент. математика Примеры

$\frac{3 y - 1}{4} + \frac{4}{y + 1} = \frac{5}{2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4, y + 1, 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.6

НОК $4, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.8

Множителем $y + 1$ является само значение $y + 1$ .

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $y + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y + 1$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 (y + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{3 y - 1}{4} + \frac{4}{y + 1} = \frac{5}{2}$ умножим на $4 (y + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{3 y - 1}{4} + \frac{4}{y + 1} = \frac{5}{2}$ на $4 (y + 1)$ .

$\frac{3 y - 1}{4} (4 (y + 1)) + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{3 y - 1}{4} (y + 1) + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 y - 1}{4} (y + 1) + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$(3 y - 1) (y + 1) + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.3

Развернем $(3 y - 1) (y + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y (y + 1) - 1 (y + 1) + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot 1 - 1 (y + 1) + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot 1 - 1 y - 1 \cdot 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1.1.1

Перенесем $y$ .

$3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 1 - 1 y - 1 \cdot 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.4.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} + 3 y \cdot 1 - 1 y - 1 \cdot 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.4.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 y^{2} + 3 y - 1 y - 1 \cdot 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.4.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$3 y^{2} + 3 y - y - 1 \cdot 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 y^{2} + 3 y - y - 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.4.2

Вычтем $y$ из $3 y$ .

$3 y^{2} + 2 y - 1 + \frac{4}{y + 1} (4 (y + 1)) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y^{2} + 2 y - 1 + 4 \frac{4}{y + 1} (y + 1) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $4 \frac{4}{y + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Объединим $4$ и $\frac{4}{y + 1}$ .

$3 y^{2} + 2 y - 1 + \frac{4 \cdot 4}{y + 1} (y + 1) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $4$ на $4$ .

$3 y^{2} + 2 y - 1 + \frac{16}{y + 1} (y + 1) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} + 2 y - 1 + \frac{16}{y + 1} (y + 1) = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 2 y - 1 + 16 = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.2.2

Добавим $- 1$ и $16$ .

$3 y^{2} + 2 y + 15 = \frac{5}{2} (4 (y + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (y + 1)$ .

$3 y^{2} + 2 y + 15 = \frac{5}{2} (2 (2 (y + 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} + 2 y + 15 = \frac{5}{2} (2 (2 (y + 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 2 y + 15 = 5 (2 (y + 1))$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$3 y^{2} + 2 y + 15 = 10 (y + 1)$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} + 2 y + 15 = 10 y + 10 \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $10$ на $1$ .

$3 y^{2} + 2 y + 15 = 10 y + 10$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} + 2 y + 15 - 10 y = 10$

Этап 3.1.2

Вычтем $10 y$ из $2 y$ .

$3 y^{2} - 8 y + 15 = 10$

Этап 3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} - 8 y + 15 - 10 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $10$ из $15$ .

$3 y^{2} - 8 y + 5 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 y$ .

$3 y^{2} - 8 y + 5 = 0$

Этап 3.4.1.2

Запишем $- 8$ как $- 3$ плюс $- 5$

$3 y^{2} + (- 3 - 5) y + 5 = 0$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 3 y - 5 y + 5 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 y^{2} - 3 y) - 5 y + 5 = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 y (y - 1) - 5 (y - 1) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y - 1$ .

$(y - 1) (3 y - 5) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 1 = 0$

$3 y - 5 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 3.7

Приравняем $3 y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $3 y - 5$ к $0$ .

$3 y - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $3 y - 5 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 5$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $3 y = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 y = 5$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{3}$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 1) (3 y - 5) = 0$ верно.

$y = 1, \frac{5}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = 1, \frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$y = 1, 1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$y = 1, 1 \frac{2}{3}$