Элемент. математика Примеры

$\frac{3 y + 18}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\frac{3 (y) + 18}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{3 y + 3 \cdot 6}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 y + 3 \cdot 6$ .

$\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Этап 1.2

Разложим $y^{2} - 4 y - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 y, 4 y, 1$

Этап 2.2

Since $4 y, 4 y, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, y^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

НОК $4, 4, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $y^{1}, y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 2.10

НОК $4 y, 4 y, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 y$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} = 1$ умножим на $4 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} = 1$ на $4 y$ .

$\frac{3 (y + 6)}{4 y} (4 y) + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{3 (y + 6)}{4 y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$4 \frac{3 (y + 6)}{4 (y)} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3 (y + 6)}{4 y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (y + 6)}{y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (y + 6)}{y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (y + 6) + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 3 \cdot 6 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.5

Умножим $3$ на $6$ .

$3 y + 18 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y + 18 + 4 \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} y = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$3 y + 18 + 4 \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 (y)} y = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$3 y + 18 + 4 \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} y = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$3 y + 18 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{y} y = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Сократим общий множитель.

$3 y + 18 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{y} y = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.8.2

Перепишем это выражение.

$3 y + 18 + (y - 6) (y + 2) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.9

Развернем $(y - 6) (y + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 18 + y (y + 2) - 6 (y + 2) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 18 + y \cdot y + y \cdot 2 - 6 (y + 2) = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 18 + y \cdot y + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2 = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y + 18 + y^{2} + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2 = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.10.1.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$3 y + 18 + y^{2} + 2 \cdot y - 6 y - 6 \cdot 2 = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.10.1.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$3 y + 18 + y^{2} + 2 y - 6 y - 12 = 1 (4 y)$

Этап 3.2.1.10.2

Вычтем $6 y$ из $2 y$ .

$3 y + 18 + y^{2} - 4 y - 12 = 1 (4 y)$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4 y$ из $3 y$ .

$- y + 18 + y^{2} - 12 = 1 (4 y)$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $12$ из $18$ .

$- y + y^{2} + 6 = 1 (4 y)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $4 y$ на $1$ .

$- y + y^{2} + 6 = 4 y$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$- y + y^{2} + 6 - 4 y = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 y$ из $- y$ .

$- 5 y + y^{2} + 6 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$- 5 u + u^{2} + 6 = 0$

Этап 4.2.2

Разложим $- 5 u + u^{2} + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 4.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(y - 3) (y - 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 3 = 0$

$y - 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 4.5

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 3) (y - 2) = 0$ верно.

$y = 3, 2$