Элемент. математика Примеры

${(\frac{- 2 y + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1

Упростим ${(\frac{- 2 y + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

${(\frac{2 (- y) + 12}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

${(\frac{2 (- y) + 2 (6)}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- y) + 2 (6)$ .

${(\frac{2 (- y + 6)}{3})}^{2} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{2 (- y + 6)}{3}$ .

$\frac{{(2 (- y + 6))}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.1.2.2

Применим правило умножения к $2 (- y + 6)$ .

$\frac{2^{2} {(- y + 6)}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{3^{2}} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} - y + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.2

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} - y \cdot \frac{9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.3

Объединим $- y$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2}}{9} + \frac{- y \cdot 9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - y \cdot 9}{9} + 2 y^{2} = 12$

Этап 1.5

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$ умножим на $9$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} + 2 y^{2} = 12$ на $9$ .

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} \cdot 9 + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y}{9} \cdot 9 + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 2 y^{2} \cdot 9 = 12 \cdot 9$

Этап 2.2.1.2

Умножим $9$ на $2$ .

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} = 12 \cdot 9$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $12$ на $9$ .

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} = 108$

Этап 3

Вычтем $108$ из обеих частей уравнения.

$4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4

Упростим $4 {(- y + 6)}^{2} - 9 y + 18 y^{2} - 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(- y + 6)}^{2}$ в виде $(- y + 6) (- y + 6)$ .

$4 ((- y + 6) (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.2

Развернем $(- y + 6) (- y + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- y (- y + 6) + 6 (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- y (- y) - y \cdot 6 + 6 (- y + 6)) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- y (- y) - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 (- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$4 (- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 (- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 (1 y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.4

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$4 (y^{2} - y \cdot 6 + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$4 (y^{2} - 6 y + 6 (- y) + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$4 (y^{2} - 6 y - 6 y + 6 \cdot 6) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.1.7

Умножим $6$ на $6$ .

$4 (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $6 y$ из $- 6 y$ .

$4 (y^{2} - 12 y + 36) - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 4 (- 12 y) + 4 \cdot 36 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 12$ на $4$ .

$4 y^{2} - 48 y + 4 \cdot 36 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.1.5.2

Умножим $4$ на $36$ .

$4 y^{2} - 48 y + 144 - 9 y + 18 y^{2} - 108 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4 y^{2}$ и $18 y^{2}$ .

$22 y^{2} - 48 y + 144 - 9 y - 108 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $9 y$ из $- 48 y$ .

$22 y^{2} - 57 y + 144 - 108 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $108$ из $144$ .

$22 y^{2} - 57 y + 36 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 22 \cdot 36 = 792$ , а сумма — $b = - 57$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 57$ из $- 57 y$ .

$22 y^{2} - 57 y + 36 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $- 57$ как $- 24$ плюс $- 33$

$22 y^{2} + (- 24 - 33) y + 36 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$22 y^{2} - 24 y - 33 y + 36 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(22 y^{2} - 24 y) - 33 y + 36 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 y (11 y - 12) - 3 (11 y - 12) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $11 y - 12$ .

$(11 y - 12) (2 y - 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$11 y - 12 = 0$

$2 y - 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $11 y - 12$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $11 y - 12$ к $0$ .

$11 y - 12 = 0$

Этап 7.2

Решим $11 y - 12 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$11 y = 12$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $11 y = 12$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $11 y = 12$ на $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{12}{11}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 y}{11} = \frac{12}{11}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{12}{11}$

Этап 8

Приравняем $2 y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $2 y - 3$ к $0$ .

$2 y - 3 = 0$

Этап 8.2

Решим $2 y - 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 3$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $2 y = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = 3$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3}{2}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(11 y - 12) (2 y - 3) = 0$ верно.

$y = \frac{12}{11}, \frac{3}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{12}{11}, \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$y = 1.\overline{09}, 1.5$

Форма смешанных чисел:

$y = 1 \frac{1}{11}, 1 \frac{1}{2}$