Элемент. математика Примеры

$- \frac{1}{5 y + 5} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{40 y^{2} + 15 y - 25}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$- \frac{1}{5 (y) + 5} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{40 y^{2} + 15 y - 25}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$- \frac{1}{5 (y) + 5 (1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{40 y^{2} + 15 y - 25}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (y) + 5 (1)$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{40 y^{2} + 15 y - 25}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5$ из $40 y^{2} + 15 y - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $40 y^{2}$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2}) + 15 y - 25}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $15 y$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2}) + 5 (3 y) - 25}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $- 25$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2}) + 5 (3 y) + 5 (- 5)}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (8 y^{2}) + 5 (3 y)$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2} + 3 y) + 5 (- 5)}$

Этап 1.2.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (8 y^{2} + 3 y) + 5 (- 5)$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2} + 3 y - 5)}$

Этап 1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 5 = - 40$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2} + 3 (y) - 5)}$

Этап 1.3.1.1.2

Запишем $3$ как $- 5$ плюс $8$

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2} + (- 5 + 8) y - 5)}$

Этап 1.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y^{2} - 5 y + 8 y - 5)}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 ((8 y^{2} - 5 y) + 8 y - 5)}$

Этап 1.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (y (8 y - 5) + 1 (8 y - 5))}$

Этап 1.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 y - 5$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 ((8 y - 5) (y + 1))}$

Этап 1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5 (y + 1), 8 y - 5, 5 (8 y - 5) (y + 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 2.6

НОК $5, 1, 5$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 2.7

Множителем $y + 1$ является само значение $y + 1$ .

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $8 y - 5$ является само значение $8 y - 5$ .

$(8 y - 5) = 8 y - 5$

$(8 y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $y + 1$ является само значение $y + 1$ .

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $y + 1, 8 y - 5, 8 y - 5, y + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 1) (8 y - 5)$

Этап 2.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$5 (y + 1) (8 y - 5)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)}$ умножим на $5 (y + 1) (8 y - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{5 (y + 1)} + \frac{1}{8 y - 5} = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)}$ на $5 (y + 1) (8 y - 5)$ .

$- \frac{1}{5 (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5)) + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $5 (y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5 (y + 1)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{5 (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5)) + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{5 (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5)) + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- (8 y - 5) + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (8 y) - - 5 + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 y - - 5 + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- 8 y + 5 + \frac{1}{8 y - 5} (5 (y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 8 y + 5 + 5 \frac{1}{8 y - 5} ((y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.6

Объединим $5$ и $\frac{1}{8 y - 5}$ .

$- 8 y + 5 + \frac{5}{8 y - 5} ((y + 1) (8 y - 5)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $8 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Вынесем множитель $8 y - 5$ из $(y + 1) (8 y - 5)$ .

$- 8 y + 5 + \frac{5}{8 y - 5} ((8 y - 5) (y + 1)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$- 8 y + 5 + \frac{5}{8 y - 5} ((8 y - 5) (y + 1)) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$- 8 y + 5 + 5 (y + 1) = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 y + 5 + 5 y + 5 \cdot 1 = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $5$ на $1$ .

$- 8 y + 5 + 5 y + 5 = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 8 y$ и $5 y$ .

$- 3 y + 5 + 5 = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $5$ и $5$ .

$- 3 y + 10 = \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} (5 (y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 y + 10 = 5 \frac{2}{5 (8 y - 5) (y + 1)} ((y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 (8 y - 5) (y + 1)$ .

$- 3 y + 10 = 5 \frac{2}{5 ((8 y - 5) (y + 1))} ((y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 y + 10 = 5 \frac{2}{5 ((8 y - 5) (y + 1))} ((y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 y + 10 = \frac{2}{(8 y - 5) (y + 1)} ((y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $(y + 1) (8 y - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $(y + 1) (8 y - 5)$ из $(8 y - 5) (y + 1)$ .

$- 3 y + 10 = \frac{2}{(y + 1) (8 y - 5) (1)} ((y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$- 3 y + 10 = \frac{2}{(y + 1) (8 y - 5) \cdot 1} ((y + 1) (8 y - 5))$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$- 3 y + 10 = 2$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y = 2 - 10$

Этап 4.1.2

Вычтем $10$ из $2$ .

$- 3 y = - 8$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 3 y = - 8$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 3 y = - 8$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 8}{- 3}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 8}{- 3}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 8}{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{8}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$y = 2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$y = 2 \frac{2}{3}$