Элемент. математика Примеры

$\frac{u + 2}{3 u - 1} + 1 = \frac{6 - u}{u + 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 u - 1, 1, u + 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $3 u - 1$ является само значение $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) = 3 u - 1$

$(3 u - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $u + 1$ является само значение $u + 1$ .

$(u + 1) = u + 1$

$(u + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $3 u - 1, u + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 u - 1) (u + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{u + 2}{3 u - 1} + 1 = \frac{6 - u}{u + 1}$ умножим на $(3 u - 1) (u + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{u + 2}{3 u - 1} + 1 = \frac{6 - u}{u + 1}$ на $(3 u - 1) (u + 1)$ .

$\frac{u + 2}{3 u - 1} ((3 u - 1) (u + 1)) + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $3 u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u + 2}{3 u - 1} ((3 u - 1) (u + 1)) + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(u + 2) (u + 1) + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(u + 2) (u + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u (u + 1) + 2 (u + 1) + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u \cdot u + u \cdot 1 + 2 (u + 1) + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u \cdot u + u \cdot 1 + 2 u + 2 \cdot 1 + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + u \cdot 1 + 2 u + 2 \cdot 1 + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Умножим $u$ на $1$ .

$u^{2} + u + 2 u + 2 \cdot 1 + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$u^{2} + u + 2 u + 2 + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $u$ и $2 u$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 1 ((3 u - 1) (u + 1)) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $(3 u - 1) (u + 1)$ на $1$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + (3 u - 1) (u + 1) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(3 u - 1) (u + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u (u + 1) - 1 (u + 1) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 1 (u + 1) = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u \cdot u + 3 u \cdot 1 - 1 u - 1 \cdot 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1.1

Перенесем $u$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 (u \cdot u) + 3 u \cdot 1 - 1 u - 1 \cdot 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u^{2} + 3 u \cdot 1 - 1 u - 1 \cdot 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u^{2} + 3 u - 1 u - 1 \cdot 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.3

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u^{2} + 3 u - u - 1 \cdot 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u^{2} + 3 u - u - 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.1.6.2

Вычтем $u$ из $3 u$ .

$u^{2} + 3 u + 2 + 3 u^{2} + 2 u - 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $u^{2}$ и $3 u^{2}$ .

$4 u^{2} + 3 u + 2 + 2 u - 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $3 u$ и $2 u$ .

$4 u^{2} + 5 u + 2 - 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((3 u - 1) (u + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $u + 1$ из $(3 u - 1) (u + 1)$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((u + 1) (3 u - 1))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 u^{2} + 5 u + 1 = \frac{6 - u}{u + 1} ((u + 1) (3 u - 1))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 u^{2} + 5 u + 1 = (6 - u) (3 u - 1)$

Этап 2.3.2

Развернем $(6 - u) (3 u - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 6 (3 u - 1) - u (3 u - 1)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 6 (3 u) + 6 \cdot - 1 - u (3 u - 1)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 6 (3 u) + 6 \cdot - 1 - u (3 u) - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $3$ на $6$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u + 6 \cdot - 1 - u (3 u) - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - u (3 u) - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - 1 \cdot 3 u \cdot u - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Перенесем $u$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - 1 \cdot 3 (u \cdot u) - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $u$ на $u$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - 1 \cdot 3 u^{2} - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - 3 u^{2} - u \cdot - 1$

Этап 2.3.3.1.6

Умножим $- u \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - 3 u^{2} + 1 u$

Этап 2.3.3.1.6.2

Умножим $u$ на $1$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 18 u - 6 - 3 u^{2} + u$

Этап 2.3.3.2

Добавим $18 u$ и $u$ .

$4 u^{2} + 5 u + 1 = 19 u - 6 - 3 u^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $19 u$ из обеих частей уравнения.

$4 u^{2} + 5 u + 1 - 19 u = - 6 - 3 u^{2}$

Этап 3.1.2

Добавим $3 u^{2}$ к обеим частям уравнения.

$4 u^{2} + 5 u + 1 - 19 u + 3 u^{2} = - 6$

Этап 3.1.3

Добавим $4 u^{2}$ и $3 u^{2}$ .

$7 u^{2} + 5 u + 1 - 19 u = - 6$

Этап 3.1.4

Вычтем $19 u$ из $5 u$ .

$7 u^{2} - 14 u + 1 = - 6$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$7 u^{2} - 14 u + 1 + 6 = 0$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $6$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2} - 14 u + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2}$ .

$7 (u^{2}) - 14 u + 7 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 14 u$ .

$7 (u^{2}) + 7 (- 2 u) + 7 = 0$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$7 (u^{2}) + 7 (- 2 u) + 7 (1) = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $7$ из $7 (u^{2}) + 7 (- 2 u)$ .

$7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1) = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1)$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 3.4.2.3

Перепишем многочлен.

$7 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Разделим каждый член $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ на $7$ .

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим ${(u - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{7}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим $0$ на $7$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 3.7

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$