Элемент. математика Примеры

$u^{- 3} = \frac{1}{125}$

Этап 1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{u^{3}} = \frac{1}{125}$

Этап 2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$1 \cdot 125 = u^{3} \cdot 1$

Этап 3

Решим уравнение относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $u^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ .

$u^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

Этап 3.2

Умножим $u^{3}$ на $1$ .

$u^{3} = 1 \cdot 125$

Этап 3.3

Умножим $125$ на $1$ .

$u^{3} = 125$

Этап 3.4

Вычтем $125$ из обеих частей уравнения.

$u^{3} - 125 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$u^{3} - 5^{3} = 0$

Этап 3.5.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = u$ и $b = 5$ .

$(u - 5) (u^{2} + u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перенесем $5$ влево от $u$ .

$(u - 5) (u^{2} + 5 u + 5^{2}) = 0$

Этап 3.5.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(u - 5) (u^{2} + 5 u + 25) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 5 = 0$

$u^{2} + 5 u + 25 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 3.8

Приравняем $u^{2} + 5 u + 25$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $u^{2} + 5 u + 25$ к $0$ .

$u^{2} + 5 u + 25 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $u^{2} + 5 u + 25 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.8.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 5) (u^{2} + 5 u + 25) = 0$ верно.

$u = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$