Элемент. математика Примеры

$t + \frac{4}{t - 2} = \frac{1}{4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, t - 2, 4$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.6

Множителем $t - 2$ является само значение $t - 2$ .

$(t - 2) = t - 2$

$(t - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $t - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$t - 2$

Этап 1.8

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 (t - 2)$

Этап 2

Каждый член в $t + \frac{4}{t - 2} = \frac{1}{4}$ умножим на $4 (t - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $t + \frac{4}{t - 2} = \frac{1}{4}$ на $4 (t - 2)$ .

$t (4 (t - 2)) + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 t (t - 2) + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем $t$ .

$4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 t^{2} - 8 t + \frac{4}{t - 2} (4 (t - 2)) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 t^{2} - 8 t + 4 \frac{4}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $4 \frac{4}{t - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Объединим $4$ и $\frac{4}{t - 2}$ .

$4 t^{2} - 8 t + \frac{4 \cdot 4}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $4$ на $4$ .

$4 t^{2} - 8 t + \frac{16}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.7

Сократим общий множитель $t - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$4 t^{2} - 8 t + \frac{16}{t - 2} (t - 2) = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$4 t^{2} - 8 t + 16 = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 t^{2} - 8 t + 16 = \frac{1}{4} (4 (t - 2))$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$4 t^{2} - 8 t + 16 = t - 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $t$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $t$ из обеих частей уравнения.

$4 t^{2} - 8 t + 16 - t = - 2$

Этап 3.1.2

Вычтем $t$ из $- 8 t$ .

$4 t^{2} - 9 t + 16 = - 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 t^{2} - 9 t + 16 + 2 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $16$ и $2$ .

$4 t^{2} - 9 t + 18 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 9$ и $c = 18$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 18)}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 16 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $18$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 288}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.3

Вычтем $288$ из $81$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $- 207$ в виде $- 1 (207)$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (207)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ .

$t = \frac{9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{9 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.7

Перепишем $207$ в виде $3^{2} \cdot 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $207$ .

$t = \frac{9 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$t = \frac{9 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$t = \frac{9 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$t = \frac{9 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$t = \frac{9 \pm 3 i \sqrt{23}}{8}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = \frac{9 + 3 i \sqrt{23}}{8}, \frac{9 - 3 i \sqrt{23}}{8}$