Элемент. математика Примеры

$\frac{2}{5} - \frac{7}{v + 6} = \frac{9}{5 (v - 6)}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{5}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{7}{v + 6} = \frac{9}{5 (v - 6)} - \frac{2}{5}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v + 6, 5 (v - 6), 5$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 5, 5$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 2.6

Множителем $v + 6$ является само значение $v + 6$ .

$(v + 6) = v + 6$

$(v + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $v - 6$ является само значение $v - 6$ .

$(v - 6) = v - 6$

$(v - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $v + 6, v - 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(v + 6) (v - 6)$

Этап 2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$5 (v + 6) (v - 6)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{7}{v + 6} = \frac{9}{5 (v - 6)} - \frac{2}{5}$ умножим на $5 (v + 6) (v - 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{7}{v + 6} = \frac{9}{5 (v - 6)} - \frac{2}{5}$ на $5 (v + 6) (v - 6)$ .

$- \frac{7}{v + 6} (5 (v + 6) (v - 6)) = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $v + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{v + 6}$ в числитель.

$\frac{- 7}{v + 6} (5 (v + 6) (v - 6)) = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $v + 6$ из $5 (v + 6) (v - 6)$ .

$\frac{- 7}{v + 6} ((v + 6) (5 (v - 6))) = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7}{v + 6} ((v + 6) (5 (v - 6))) = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 7 (5 (v - 6)) = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2.2

Умножим $5$ на $- 7$ .

$- 35 (v - 6) = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 v - 35 \cdot - 6 = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.2.4

Умножим $- 35$ на $- 6$ .

$- 35 v + 210 = \frac{9}{5 (v - 6)} (5 (v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 35 v + 210 = 5 \frac{9}{5 (v - 6)} ((v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 35 v + 210 = 5 \frac{9}{5 (v - 6)} ((v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 35 v + 210 = \frac{9}{v - 6} ((v + 6) (v - 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $v - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $v - 6$ из $(v + 6) (v - 6)$ .

$- 35 v + 210 = \frac{9}{v - 6} ((v - 6) (v + 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$- 35 v + 210 = \frac{9}{v - 6} ((v - 6) (v + 6)) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 35 v + 210 = 9 (v + 6) - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 v + 210 = 9 v + 9 \cdot 6 - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.5

Умножим $9$ на $6$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - \frac{2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 + \frac{- 2}{5} (5 (v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (v + 6) (v - 6)$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 + \frac{- 2}{5} (5 ((v + 6) (v - 6)))$

Этап 3.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 + \frac{- 2}{5} (5 ((v + 6) (v - 6)))$

Этап 3.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 ((v + 6) (v - 6))$

Этап 3.3.1.7

Развернем $(v + 6) (v - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v (v - 6) + 6 (v - 6))$

Этап 3.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v \cdot v + v \cdot - 6 + 6 (v - 6))$

Этап 3.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v \cdot v + v \cdot - 6 + 6 v + 6 \cdot - 6)$

Этап 3.3.1.8

Объединим противоположные члены в $v \cdot v + v \cdot - 6 + 6 v + 6 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Изменим порядок множителей в членах $v \cdot - 6$ и $6 v$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v \cdot v - 6 v + 6 v + 6 \cdot - 6)$

Этап 3.3.1.8.2

Добавим $- 6 v$ и $6 v$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v \cdot v + 0 + 6 \cdot - 6)$

Этап 3.3.1.8.3

Добавим $v \cdot v$ и $0$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v \cdot v + 6 \cdot - 6)$

Этап 3.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.9.1

Умножим $v$ на $v$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v^{2} + 6 \cdot - 6)$

Этап 3.3.1.9.2

Умножим $6$ на $- 6$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 (v^{2} - 36)$

Этап 3.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 v^{2} - 2 \cdot - 36$

Этап 3.3.1.11

Умножим $- 2$ на $- 36$ .

$- 35 v + 210 = 9 v + 54 - 2 v^{2} + 72$

Этап 3.3.2

Добавим $54$ и $72$ .

$- 35 v + 210 = 9 v - 2 v^{2} + 126$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $v$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 v - 2 v^{2} + 126 = - 35 v + 210$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $v$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $35 v$ к обеим частям уравнения.

$9 v - 2 v^{2} + 126 + 35 v = 210$

Этап 4.2.2

Добавим $9 v$ и $35 v$ .

$44 v - 2 v^{2} + 126 = 210$

Этап 4.3

Вычтем $210$ из обеих частей уравнения.

$44 v - 2 v^{2} + 126 - 210 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $210$ из $126$ .

$44 v - 2 v^{2} - 84 = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 2$ из $44 v - 2 v^{2} - 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Изменим порядок $44 v$ и $- 2 v^{2}$ .

$- 2 v^{2} + 44 v - 84 = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 v^{2}$ .

$- 2 v^{2} + 44 v - 84 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $- 2$ из $44 v$ .

$- 2 v^{2} - 2 (- 22 v) - 84 = 0$

Этап 4.5.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 84$ .

$- 2 v^{2} - 2 (- 22 v) - 2 \cdot 42 = 0$

Этап 4.5.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (v^{2}) - 2 (- 22 v)$ .

$- 2 (v^{2} - 22 v) - 2 \cdot 42 = 0$

Этап 4.5.6

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (v^{2} - 22 v) - 2 (42)$ .

$- 2 (v^{2} - 22 v + 42) = 0$

Этап 4.6

Разделим каждый член $- 2 (v^{2} - 22 v + 42) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Разделим каждый член $- 2 (v^{2} - 22 v + 42) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 (v^{2} - 22 v + 42)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (v^{2} - 22 v + 42)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.6.2.1.2

Разделим $v^{2} - 22 v + 42$ на $1$ .

$v^{2} - 22 v + 42 = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$v^{2} - 22 v + 42 = 0$

Этап 4.7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 22$ и $c = 42$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $v$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 42)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Возведем $- 22$ в степень $2$ .

$v = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$v = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $42$ .

$v = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 168}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.1.3

Вычтем $168$ из $484$ .

$v = \frac{22 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.1.4

Перепишем $316$ в виде $2^{2} \cdot 79$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $316$ .

$v = \frac{22 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$v = \frac{22 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$v = \frac{22 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$v = \frac{22 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Этап 4.9.3

Упростим $\frac{22 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$v = 11 \pm \sqrt{79}$

Этап 4.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$v = 11 + \sqrt{79}, 11 - \sqrt{79}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$v = 11 + \sqrt{79}, 11 - \sqrt{79}$

Десятичная форма:

$v = 19.88819441 \dots, 2.11180558 \dots$