Элемент. математика Примеры

$\frac{3}{w - 4} - \frac{12}{w^{2} - 16} = \frac{w}{w + 4}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{3}{w - 4} - \frac{12}{w^{2} - 4^{2}} = \frac{w}{w + 4}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = w$ и $b = 4$ .

$\frac{3}{w - 4} - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} = \frac{w}{w + 4}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$w - 4, (w + 4) (w - 4), w + 4$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $w - 4$ является само значение $w - 4$ .

$(w - 4) = w - 4$

$(w - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $w + 4$ является само значение $w + 4$ .

$(w + 4) = w + 4$

$(w + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $w - 4$ является само значение $w - 4$ .

$(w - 4) = w - 4$

$(w - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $w + 4$ является само значение $w + 4$ .

$(w + 4) = w + 4$

$(w + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $w - 4, w + 4, w - 4, w + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(w - 4) (w + 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3}{w - 4} - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} = \frac{w}{w + 4}$ умножим на $(w - 4) (w + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{w - 4} - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} = \frac{w}{w + 4}$ на $(w - 4) (w + 4)$ .

$\frac{3}{w - 4} ((w - 4) (w + 4)) - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $w - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{w - 4} ((w - 4) (w + 4)) - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 (w + 4) - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 w + 3 \cdot 4 - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$3 w + 12 - \frac{12}{(w + 4) (w - 4)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $(w - 4) (w + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{12}{(w + 4) (w - 4)}$ в числитель.

$3 w + 12 + \frac{- 12}{(w + 4) (w - 4)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $(w - 4) (w + 4)$ из $(w + 4) (w - 4)$ .

$3 w + 12 + \frac{- 12}{(w - 4) (w + 4) (1)} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$3 w + 12 + \frac{- 12}{(w - 4) (w + 4) \cdot 1} ((w - 4) (w + 4)) = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$3 w + 12 - 12 = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $3 w + 12 - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $12$ из $12$ .

$3 w + 0 = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $3 w$ и $0$ .

$3 w = \frac{w}{w + 4} ((w - 4) (w + 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $w + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $w + 4$ из $(w - 4) (w + 4)$ .

$3 w = \frac{w}{w + 4} ((w + 4) (w - 4))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 w = \frac{w}{w + 4} ((w + 4) (w - 4))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 w = w (w - 4)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 w = w \cdot w + w \cdot - 4$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $w$ на $w$ .

$3 w = w^{2} + w \cdot - 4$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $- 4$ влево от $w$ .

$3 w = w^{2} - 4 w$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $w$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$w^{2} - 4 w = 3 w$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $w$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 w$ из обеих частей уравнения.

$w^{2} - 4 w - 3 w = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 w$ из $- 4 w$ .

$w^{2} - 7 w = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $w$ из $w^{2} - 7 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{2}$ .

$w \cdot w - 7 w = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $w$ из $- 7 w$ .

$w \cdot w + w \cdot - 7 = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $w$ из $w \cdot w + w \cdot - 7$ .

$w (w - 7) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w = 0$

$w - 7 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $w$ к $0$ .

$w = 0$

Этап 4.6

Приравняем $w - 7$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $w - 7$ к $0$ .

$w - 7 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$w = 7$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $w (w - 7) = 0$ верно.

$w = 0, 7$