Элемент. математика Примеры

$w^{3} - w^{2} - 2 w = 40$

Этап 1

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$w^{3} - w^{2} - 2 w - 40 = 0$

Этап 2

Разложим $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Этап 2.3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{3} - 4^{2} - 2 \cdot 4 - 40$

Этап 2.3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 4^{2} - 2 \cdot 4 - 40$

Этап 2.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 1 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 40$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$64 - 16 - 2 \cdot 4 - 40$

Этап 2.3.5

Вычтем $16$ из $64$ .

$48 - 2 \cdot 4 - 40$

Этап 2.3.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$48 - 8 - 40$

Этап 2.3.7

Вычтем $8$ из $48$ .

$40 - 40$

Этап 2.3.8

Вычтем $40$ из $40$ .

$0$

Этап 2.4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $w - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{w^{3} - w^{2} - 2 w - 40}{w - 4}$

Этап 2.5

Разделим $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ на $w - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$w$

$4$

$w^{3}$

$w^{2}$

$2 w$

$40$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $w^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $w$ .

					$w^{2}$
	$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			+	$w^{3}$	-	$4 w^{2}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $w^{3} - 4 w^{2}$ .

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$w^{2}$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 w^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					+	$3 w^{2}$	-	$12 w$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 w^{2} - 12 w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$w^{2}$	+	$3 w$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 w$ на член с максимальной степенью в делителе $w$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							+	$10 w$	-	$40$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 w - 40$ .

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							-	$10 w$	+	$40$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$w^{2}$	+	$3 w$	+	$10$
$w$	-	$4$		$w^{3}$	-	$w^{2}$	-	$2 w$	-	$40$
			-	$w^{3}$	+	$4 w^{2}$
					+	$3 w^{2}$	-	$2 w$
					-	$3 w^{2}$	+	$12 w$
							+	$10 w$	-	$40$
							-	$10 w$	+	$40$
										$0$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$w^{2} + 3 w + 10$

Этап 2.6

Запишем $w^{3} - w^{2} - 2 w - 40$ в виде набора множителей.

$(w - 4) (w^{2} + 3 w + 10) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 4 = 0$

$w^{2} + 3 w + 10 = 0$

Этап 4

Приравняем $w - 4$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $w - 4$ к $0$ .

$w - 4 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$w = 4$

Этап 5

Приравняем $w^{2} + 3 w + 10$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $w^{2} + 3 w + 10$ к $0$ .

$w^{2} + 3 w + 10 = 0$

Этап 5.2

Решим $w^{2} + 3 w + 10 = 0$ относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $w$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $10$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вычтем $40$ из $9$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 31$ в виде $- 1 (31)$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (31)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$w = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$w = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$w = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$w = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(w - 4) (w^{2} + 3 w + 10) = 0$ верно.

$w = 4, - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$