Элемент. математика Примеры

$(3 v - \frac{1}{2} w) (v - \frac{1}{5} w)$

Этап 1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $w$ и $\frac{1}{2}$ .

$(3 v - \frac{w}{2}) (v - \frac{1}{5} w)$

Этап 1.2

Объединим $w$ и $\frac{1}{5}$ .

$(3 v - \frac{w}{2}) (v - \frac{w}{5})$

Этап 2

Развернем $(3 v - \frac{w}{2}) (v - \frac{w}{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 v (v - \frac{w}{5}) - \frac{w}{2} (v - \frac{w}{5})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 v \cdot v + 3 v (- \frac{w}{5}) - \frac{w}{2} (v - \frac{w}{5})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 v \cdot v + 3 v (- \frac{w}{5}) - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перенесем $v$ .

$3 (v \cdot v) + 3 v (- \frac{w}{5}) - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$3 v^{2} + 3 v (- \frac{w}{5}) - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.2

Умножим $3 v (- \frac{w}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 v^{2} - 3 v \frac{w}{5} - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{w}{5}$ .

$3 v^{2} + v \frac{- 3 w}{5} - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.2.3

Объединим $v$ и $\frac{- 3 w}{5}$ .

$3 v^{2} + \frac{v (- 3 w)}{5} - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$3 v^{2} + \frac{v \cdot - 3 w}{5} - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.4

Перенесем $- 3$ влево от $v$ .

$3 v^{2} + \frac{- 3 \cdot v w}{5} - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 v^{2} - \frac{3 \cdot v w}{5} - \frac{w}{2} v - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.6

Объединим $v$ и $\frac{w}{2}$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} - \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$

Этап 3.1.7

Умножим $- \frac{w}{2} (- \frac{w}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + 1 \frac{w}{2} \frac{w}{5}$

Этап 3.1.7.2

Умножим $\frac{w}{2}$ на $1$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w}{2} \cdot \frac{w}{5}$

Этап 3.1.7.3

Умножим $\frac{w}{2}$ на $\frac{w}{5}$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w \cdot w}{2 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.4

Возведем $w$ в степень $1$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w^{1} w}{2 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.5

Возведем $w$ в степень $1$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w^{1} w^{1}}{2 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w^{1 + 1}}{2 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.7

Добавим $1$ и $1$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w^{2}}{2 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.8

Умножим $2$ на $5$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} - \frac{v w}{2} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{3 v w}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{v w}{2} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \frac{v w}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{v w}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{3 v w}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{v w}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w \cdot 2}{10} - \frac{v w}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{v w}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w \cdot 2}{10} - \frac{v w \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$3 v^{2} - \frac{3 v w \cdot 2}{10} - \frac{v w \cdot 5}{10} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 v^{2} + \frac{- 3 v w \cdot 2 - v w \cdot 5}{10} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.6

Чтобы записать $3 v^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$3 v^{2} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- 3 v w \cdot 2 - v w \cdot 5}{10} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.7

Объединим $3 v^{2}$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{3 v^{2} \cdot 10}{10} + \frac{- 3 v w \cdot 2 - v w \cdot 5}{10} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 v^{2} \cdot 10 - 3 v w \cdot 2 - v w \cdot 5}{10} + \frac{w^{2}}{10}$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 v^{2} \cdot 10 - 3 v w \cdot 2 - v w \cdot 5 + w^{2}}{10}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{30 v^{2} - 3 v w \cdot 2 - v w \cdot 5 + w^{2}}{10}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{30 v^{2} - 6 v w - v w \cdot 5 + w^{2}}{10}$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{30 v^{2} - 6 v w - 5 v w + w^{2}}{10}$

Этап 4.4

Вычтем $5 v w$ из $- 6 v w$ .

$\frac{30 v^{2} - 11 v w + w^{2}}{10}$

Этап 4.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 30 \cdot 1 = 30$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{30 v^{2} + w^{2} - 11 v w}{10}$

Этап 4.5.1.2

Изменим порядок $w^{2}$ и $- 11 v w$ .

$\frac{30 v^{2} - 11 v w + w^{2}}{10}$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 v w$ .

$\frac{30 v^{2} - 11 (v w) + w^{2}}{10}$

Этап 4.5.1.4

Запишем $- 11$ как $- 5$ плюс $- 6$

$\frac{30 v^{2} + (- 5 - 6) (v w) + w^{2}}{10}$

Этап 4.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{30 v^{2} - 5 (v w) - 6 (v w) + w^{2}}{10}$

Этап 4.5.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{30 v^{2} - 5 v w - 6 v w + w^{2}}{10}$

Этап 4.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(30 v^{2} - 5 v w) - 6 v w + w^{2}}{10}$

Этап 4.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{5 v (6 v - w) - w (6 v - w)}{10}$

Этап 4.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 v - w$ .

$\frac{(6 v - w) (5 v - w)}{10}$