Элемент. математика Примеры

$\frac{1 + i}{9 + 9 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1 + i}{9 + 9 i}$ на комплексно сопряженное $9 + 9 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1 + i}{9 + 9 i} \cdot \frac{9 - 9 i}{9 - 9 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(1 + i) (9 - 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(1 + i) (9 - 9 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (9 - 9 i) + i (9 - 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 9 + 1 (- 9 i) + i (9 - 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 9 + 1 (- 9 i) + i \cdot 9 + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{9 + 1 (- 9 i) + i \cdot 9 + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 9 i$ на $1$ .

$\frac{9 - 9 i + i \cdot 9 + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Перенесем $9$ влево от $i$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 \cdot i + i (- 9 i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $i (- 9 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 (i^{1} i)}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 (i^{1} i^{1})}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 i^{1 + 1}}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 i^{2}}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i - 9 \cdot - 1}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 9 i + 9 i + 9}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{18 - 9 i + 9 i}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $- 9 i$ и $9 i$ .

$\frac{18 + 0}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.2.2.4

Добавим $18$ и $0$ .

$\frac{18}{(9 + 9 i) (9 - 9 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(9 + 9 i) (9 - 9 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18}{9 (9 - 9 i) + 9 i (9 - 9 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18}{9 \cdot 9 + 9 (- 9 i) + 9 i (9 - 9 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18}{9 \cdot 9 + 9 (- 9 i) + 9 i \cdot 9 + 9 i (- 9 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{18}{81 + 9 (- 9 i) + 9 i \cdot 9 + 9 i (- 9 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 9$ на $9$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 9 i \cdot 9 + 9 i (- 9 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i + 9 i (- 9 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $- 9$ на $9$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{18}{81 - 81 i + 81 i - 81 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим $- 81 i$ и $81 i$ .

$\frac{18}{81 + 0 - 81 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $81$ и $0$ .

$\frac{18}{81 - 81 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{18}{81 - 81 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 81$ на $- 1$ .

$\frac{18}{81 + 81}$

Этап 2.3.4

Добавим $81$ и $81$ .

$\frac{18}{162}$

Этап 3

Сократим общий множитель $18$ и $162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $18$ из $18$ .

$\frac{18 (1)}{162}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $18$ из $162$ .

$\frac{18 \cdot 1}{18 \cdot 9}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{18 \cdot 1}{18 \cdot 9}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{1}$