Элемент. математика Примеры

$20 x^{2} - 9 x \geq 20$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$20 x^{2} - 9 x = 20$

Этап 2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 20 \cdot - 20 = - 400$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 9$ как $16$ плюс $- 25$

$20 x^{2} + (16 - 25) x - 20 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x^{2} + 16 x - 25 x - 20 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(20 x^{2} + 16 x) - 25 x - 20 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 4$ .

$(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Этап 5

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $5 x + 4$ к $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $5 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{5}$

Этап 6

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $4 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{4}{5}$

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{4}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{4}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$20 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 \geq 20$

Этап 9.1.3

Левая часть $207$ больше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$20 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \geq 20$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $20$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$20 {(4)}^{2} - 9 \cdot 4 \geq 20$

Этап 9.3.3

Левая часть $284$ больше правой части $20$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{4}{5}$ Истина

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Ложь

$x > \frac{5}{4}$ Истина

$x < - \frac{4}{5}$ Истина

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Ложь

$x > \frac{5}{4}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{4}{5}$ или $x \geq \frac{5}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{4}{5} or x \geq \frac{5}{4}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{4}{5}] \cup [\frac{5}{4}, \infty)$

Этап 12