Элемент. математика Примеры

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} + 3 y - 28}{y^{2} - 9}$

Этап 1

Разложим $y^{2} + 3 y - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 28$ , а сумма — $3$ .

$- 4, 7$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 9}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{y^{2} - 3^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 y$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 (y) + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 13$ как $- 1$ плюс $- 12$

$\frac{4 y^{2} + (- 1 - 12) y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 y^{2} - 1 y - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 y^{2} - 1 y) - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y (4 y - 1) - 3 (4 y - 1)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 y - 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 (y) - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 4.1.2

Запишем $- 5$ как $3$ плюс $- 8$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (3 - 8) y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} + 3 y) - 8 y - 12} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{y (2 y + 3) - 4 (2 y + 3)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 9 (y) + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5.1.2

Запишем $9$ как $3$ плюс $6$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + (3 + 6) y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{2 y^{2} + 3 y + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y^{2} + 3 y) + 6 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{y (2 y + 3) + 3 (2 y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $16 y^{2}$ в виде ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{{(4 y)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 6.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 y$ и $b = 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y + 1) (4 y - 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $4 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $4 y - 1$ из $(4 y + 1) (4 y - 1)$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{(4 y - 1) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 3}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(2 y + 3) (y + 3)}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 3}{y - 4} \cdot \frac{y + 3}{4 y + 1} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{y - 3}{y - 4}$ на $\frac{y + 3}{4 y + 1}$ .

$\frac{(y - 3) (y + 3)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $(y + 3) (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $(y + 3) (y - 3)$ из $(y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3) (1)}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + 3) (y - 3) \cdot 1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot \frac{(y - 4) (y + 7)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(y - 4) (4 y + 1)} \cdot ((y - 4) (y + 7))$

Этап 7.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 y + 1} \cdot (y + 7)$

Этап 7.6

Умножим $\frac{1}{4 y + 1}$ на $y + 7$ .

$\frac{y + 7}{4 y + 1}$