Элемент. математика Примеры

$\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$ на $\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)} \cdot \frac{\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1}}{\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a + 1} + \frac{a}{a - 1})}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (\frac{a}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 1})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $a + 1$ из $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a + 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $a - 1$ из $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a - 1) ((a + 1) (a^{2} - 1)) \frac{a}{a - 1}}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $a^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $a^{2} - 1$ из $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a^{2} - 1) ((a + 1) (a - 1)) \frac{a}{a^{2} - 1} + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) (- \frac{1}{a + 1})}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{a + 1}$ в числитель.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1) \frac{- 1}{a + 1}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $a + 1$ из $(a + 1) (a - 1) (a^{2} - 1)$ .

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a + 1) ((a - 1) (a^{2} - 1)) \frac{- 1}{a + 1}}$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $(a^{2} - 1) a$ из $(a - 1) (a^{2} - 1) a + (a + 1) (a^{2} - 1) a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $(a^{2} - 1) a$ из $(a - 1) (a^{2} - 1) a$ .

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a + 1) (a^{2} - 1) a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $(a^{2} - 1) a$ из $(a + 1) (a^{2} - 1) a$ .

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $(a^{2} - 1) a$ из $(a^{2} - 1) a (a - 1) + (a^{2} - 1) a (a + 1)$ .

$\frac{(a^{2} - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(a^{2} - 1^{2}) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (a - 1 + a + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.4

Добавим $a$ и $a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a - 1 + 1)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a (2 a + 0)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.6

Добавим $2 a$ и $0$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) a \cdot 2 a}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a)}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.7.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 (a^{1} a^{1})}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{1 + 1}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 4.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $a - 1$ из $(a + 1) (a - 1) a + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $a - 1$ из $(a + 1) (a - 1) a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $a - 1$ из $(a - 1) (a^{2} - 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $a - 1$ из $(a - 1) ((a + 1) a) + (a - 1) ((a^{2} - 1) \cdot - 1)$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) ((a + 1) a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a \cdot a + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Этап 5.3

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + 1 a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Этап 5.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + (a^{2} - 1) \cdot - 1)}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + a^{2} \cdot - 1 - 1 \cdot - 1)}$

Этап 5.6

Перенесем $- 1$ влево от $a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} - 1 \cdot - 1)}$

Этап 5.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - 1 \cdot a^{2} + 1)}$

Этап 5.8

Перепишем $- 1 a^{2}$ в виде $- a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a - a^{2} + 1)}$

Этап 5.9

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 0 + 1)}$

Этап 5.10

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $a + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + 1) (a - 1) \cdot 2 a^{2}}{(a - 1) (a + 1)}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 1) \cdot 2 a^{2}}{a - 1}$

Этап 6.2.2

Разделим $2 a^{2}$ на $1$ .

$2 a^{2}$