Элемент. математика Примеры

${(1 + \frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1^{2} \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1 \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 \frac{2 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.4

Умножим $3 \frac{2 i}{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $3$ и $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{3 (2 i)}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \cdot 1 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 {(\frac{2 i}{n})}^{2} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило умножения к $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{{(2 i)}^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.6.2

Применим правило умножения к $2 i$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{2^{2} i^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{4 i^{2}}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.7.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{4 \cdot - 1}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 \frac{- 4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{6 i}{n} + 3 (- \frac{4}{n^{2}}) + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.10

Умножим $3 (- \frac{4}{n^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - 3 \frac{4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.10.2

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{n^{2}}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + \frac{- 3 \cdot 4}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.10.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$1 + \frac{6 i}{n} + \frac{- 12}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + {(\frac{2 i}{n})}^{3}$

Этап 2.12

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим правило умножения к $\frac{2 i}{n}$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{{(2 i)}^{3}}{n^{3}}$

Этап 2.12.2

Применим правило умножения к $2 i$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{2^{3} i^{3}}{n^{3}}$

Этап 2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 i^{3}}{n^{3}}$

Этап 2.13.2

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 (i^{2} \cdot i)}{n^{3}}$

Этап 2.13.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 (- 1 \cdot i)}{n^{3}}$

Этап 2.13.4

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{8 \cdot - 1 i}{n^{3}}$

Этап 2.13.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{- (8 i)}{n^{3}}$

Этап 2.13.5.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} + \frac{- 8 i}{n^{3}}$

Этап 2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 + \frac{6 i}{n} - \frac{12}{n^{2}} - \frac{8 i}{n^{3}}$