Элемент. математика Примеры

$\frac{z^{2} - 9}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 3^{2}}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 z + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $25$ из $25 z + 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25 z$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z) + 75} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 z + 25 \cdot 3} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $25$ из $25 z + 25 \cdot 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 z + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $125$ из $125 z + 375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $125$ из $125 z$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z) + 375}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $125$ из $375$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 z + 125 \cdot 3}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $125$ из $125 z + 125 \cdot 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 z^{2} - 30 z + 45}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 z^{2} - 30 z + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 z^{2}$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2}) - 30 z + 45}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 30 z$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2}) + 5 (- 6 z) + 45}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $5$ из $45$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 z^{2} + 5 (- 6 z) + 5 \cdot 9}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 z^{2} + 5 (- 6 z)$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z) + 5 \cdot 9}$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (z^{2} - 6 z) + 5 \cdot 9$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z + 9)}$

Этап 3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 6 z + 3^{2})}$

Этап 3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 z = 2 \cdot z \cdot 3$

Этап 3.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 (z^{2} - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^{2})}$

Этап 3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = z$ и $b = 3$ .

$\frac{(z + 3) (z - 3)}{25 (z + 3)} \cdot \frac{125 (z + 3)}{5 {(z - 3)}^{2}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{(z + 3) (z - 3) (125 (z + 3))}{25 (z + 3) (5 {(z - 3)}^{2})}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $z + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(z + 3) (z - 3) (125 (z + 3))}{25 (z + 3) (5 {(z - 3)}^{2})}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{25 (5 {(z - 3)}^{2})}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $z - 3$ из $25 (5 {(z - 3)}^{2})$ .

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{(z - 3) (25 (5 (z - 3)))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(z - 3) (125 (z + 3))}{(z - 3) (25 (5 (z - 3)))}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125 (z + 3)}{25 (5 (z - 3))}$

Этап 6

Сократим общий множитель $125$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $25$ из $125 (z + 3)$ .

$\frac{25 (5 (z + 3))}{25 (5 (z - 3))}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 (5 (z + 3))}{25 (5 (z - 3))}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (z + 3)}{5 (z - 3)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (z + 3)}{5 (z - 3)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{z + 3}{z - 3}$