Элемент. математика Примеры

$\frac{6 z}{z^{2} + 4 z - 21} + \frac{7}{z + 7} = 1$

Этап 1

Разложим $z^{2} + 4 z - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $4$ .

$- 3, 7$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{6 z}{(z - 3) (z + 7)} + \frac{7}{z + 7} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(z - 3) (z + 7), z + 7, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $z - 3$ является само значение $z - 3$ .

$(z - 3) = z - 3$

$(z - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $z + 7$ является само значение $z + 7$ .

$(z + 7) = z + 7$

$(z + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $z - 3, z + 7, z + 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(z - 3) (z + 7)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{6 z}{(z - 3) (z + 7)} + \frac{7}{z + 7} = 1$ умножим на $(z - 3) (z + 7)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{6 z}{(z - 3) (z + 7)} + \frac{7}{z + 7} = 1$ на $(z - 3) (z + 7)$ .

$\frac{6 z}{(z - 3) (z + 7)} ((z - 3) (z + 7)) + \frac{7}{z + 7} ((z - 3) (z + 7)) = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(z - 3) (z + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 z}{(z - 3) (z + 7)} ((z - 3) (z + 7)) + \frac{7}{z + 7} ((z - 3) (z + 7)) = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 z + \frac{7}{z + 7} ((z - 3) (z + 7)) = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $z + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $z + 7$ из $(z - 3) (z + 7)$ .

$6 z + \frac{7}{z + 7} ((z + 7) (z - 3)) = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$6 z + \frac{7}{z + 7} ((z + 7) (z - 3)) = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$6 z + 7 (z - 3) = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 z + 7 z + 7 \cdot - 3 = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $7$ на $- 3$ .

$6 z + 7 z - 21 = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.2.2

Добавим $6 z$ и $7 z$ .

$13 z - 21 = 1 ((z - 3) (z + 7))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $(z - 3) (z + 7)$ на $1$ .

$13 z - 21 = (z - 3) (z + 7)$

Этап 3.3.2

Развернем $(z - 3) (z + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$13 z - 21 = z (z + 7) - 3 (z + 7)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$13 z - 21 = z \cdot z + z \cdot 7 - 3 (z + 7)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$13 z - 21 = z \cdot z + z \cdot 7 - 3 z - 3 \cdot 7$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $z$ на $z$ .

$13 z - 21 = z^{2} + z \cdot 7 - 3 z - 3 \cdot 7$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $z$ .

$13 z - 21 = z^{2} + 7 \cdot z - 3 z - 3 \cdot 7$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $7$ .

$13 z - 21 = z^{2} + 7 z - 3 z - 21$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $3 z$ из $7 z$ .

$13 z - 21 = z^{2} + 4 z - 21$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $z$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$z^{2} + 4 z - 21 = 13 z - 21$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $13 z$ из обеих частей уравнения.

$z^{2} + 4 z - 21 - 13 z = - 21$

Этап 4.2.2

Вычтем $13 z$ из $4 z$ .

$z^{2} - 9 z - 21 = - 21$

Этап 4.3

Добавим $21$ к обеим частям уравнения.

$z^{2} - 9 z - 21 + 21 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $z^{2} - 9 z - 21 + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $- 21$ и $21$ .

$z^{2} - 9 z + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $z^{2} - 9 z$ и $0$ .

$z^{2} - 9 z = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $z$ из $z^{2} - 9 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{2}$ .

$z \cdot z - 9 z = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $z$ из $- 9 z$ .

$z \cdot z + z \cdot - 9 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $z$ из $z \cdot z + z \cdot - 9$ .

$z (z - 9) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z = 0$

$z - 9 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $z$ к $0$ .

$z = 0$

Этап 4.8

Приравняем $z - 9$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $z - 9$ к $0$ .

$z - 9 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$z = 9$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $z (z - 9) = 0$ верно.

$z = 0, 9$