Элемент. математика Примеры

$12 z^{\frac{2}{5}} + 7 z^{\frac{1}{5}} = - 1$

Этап 1

Найдем общий множитель $z^{\frac{1}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

$12 {(z^{\frac{1}{5}})}^{2} + 7 z^{\frac{1}{5}} + 1$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $z^{\frac{1}{5}}$ .

$12 {(u)}^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $7$ на $u$ .

$12 u^{2} + 7 u + 1 = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot 1 = 12$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u$ .

$12 u^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Этап 3.2.1.2

Запишем $7$ как $3$ плюс $4$

$12 u^{2} + (3 + 4) u + 1 = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 u^{2} + 3 u + 4 u + 1 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(12 u^{2} + 3 u) + 4 u + 1 = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $4 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $4 u + 1$ к $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $4 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 u = - 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $4 u = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{4}$

Этап 3.5

Приравняем $3 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $3 u + 1$ к $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $3 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 u = - 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $3 u = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{3}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Этап 4

Подставим $z$ вместо $u$ .

$z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Этап 5

Решим относительно $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}$ для $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Этап 5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Этап 5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z^{1} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

$z = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим ${(- \frac{1}{4})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{4})}^{5}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Этап 5.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Этап 5.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$z = - \frac{1}{4^{5}}$

Этап 5.2.2.1.4

Возведем $4$ в степень $5$ .

$z = - \frac{1}{1024}$

Этап 6

Решим относительно $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{3}$ для $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Этап 6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Этап 6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим.

$z = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${(- \frac{1}{3})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Этап 6.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$z = - \frac{1}{3^{5}}$

Этап 6.2.2.1.4

Возведем $3$ в степень $5$ .

$z = - \frac{1}{243}$

Этап 7

Перечислим все решения.

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Десятичная форма:

$z = - 0.00097656 \dots, - 0.00411522 \dots$