Элемент. математика Примеры

$\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 11 y - 21} \div \frac{2 y^{2} + y - 3}{y^{2} + 6 y - 7}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{4 y^{2} - 9}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{{(2 y)}^{2} - 9}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{{(2 y)}^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 11 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 y$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + 11 (y) - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 3.1.2

Запишем $11$ как $- 3$ плюс $14$

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} + (- 3 + 14) y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{2 y^{2} - 3 y + 14 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y^{2} - 3 y) + 14 y - 21} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{y (2 y - 3) + 7 (2 y - 3)} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 3$ .

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 7)} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 4

Сократим общий множитель $2 y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 y + 3) (2 y - 3)}{(2 y - 3) (y + 7)} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{y^{2} + 6 y - 7}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 5

Разложим $y^{2} + 6 y - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $6$ .

$- 1, 7$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} + y - 3}$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} + 1 y - 3}$

Этап 6.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} + (- 2 + 3) y - 3}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y^{2} - 2 y + 3 y - 3}$

Этап 6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(2 y^{2} - 2 y) + 3 y - 3}$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{2 y (y - 1) + 3 (y - 1)}$

Этап 6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y - 1$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(y - 1) (2 y + 3)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2 y + 3$ из $(y - 1) (2 y + 3)$ .

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y + 3}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{(2 y + 3) (y - 1)}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 7} \cdot \frac{(y - 1) (y + 7)}{y - 1}$

Этап 8

Сократим общий множитель $y + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $y + 7$ из $(y - 1) (y + 7)$ .

$\frac{1}{y + 7} \cdot \frac{(y + 7) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 7} \cdot \frac{(y + 7) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Этап 9

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$1$