Элемент. математика Примеры

$(\frac{4 k^{2} - 4 k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k}) \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 k$ .

$\frac{4 k^{2} - 4 (k) - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 1.1.2

Запишем $- 4$ как $6$ плюс $- 10$

$\frac{4 k^{2} + (6 - 10) k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 k^{2} + 6 k - 10 k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 k^{2} + 6 k) - 10 k - 15}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 k (2 k + 3) - 5 (2 k + 3)}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 k + 3$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k^{2} + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 2

Вынесем множитель $k$ из $k^{2} + 7 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $k$ из $k^{2}$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k \cdot k + 7 k} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $k$ из $7 k$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k \cdot k + k \cdot 7} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $k$ из $k \cdot k + k \cdot 7$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k^{3} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $k$ из $k^{3} + 2 k^{2} - 35 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $k$ из $k^{3}$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k \cdot k^{2} + 2 k^{2} - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $k$ из $2 k^{2}$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k \cdot k^{2} + k (2 k) - 35 k} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $k$ из $- 35 k$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k \cdot k^{2} + k (2 k) + k \cdot - 35} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $k$ из $k \cdot k^{2} + k (2 k)$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k^{2} + 2 k) + k \cdot - 35} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $k$ из $k (k^{2} + 2 k) + k \cdot - 35$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k^{2} + 2 k - 35)} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 3.2

Разложим $k^{2} + 2 k - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $2$ .

$- 5, 7$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k ((k - 5) (k + 7))} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{k^{2} - 13 k + 42}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 4

Разложим $k^{2} - 13 k + 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $42$ , а сумма — $- 13$ .

$- 7, - 6$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} - 9 k - 18}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 18 = - 36$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 k$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} - 9 (k) - 18}$

Этап 5.1.2

Запишем $- 9$ как $3$ плюс $- 12$

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} + (3 - 12) k - 18}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{2 k^{2} + 3 k - 12 k - 18}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k^{2} + 3 k) - 12 k - 18}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{k (2 k + 3) - 6 (2 k + 3)}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 k + 3$ .

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \div \frac{2 k - 5}{k (k - 5) (k + 7)} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 6

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{(2 k + 3) (2 k - 5)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 5) (k + 7)}{2 k - 5} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $2 k - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $2 k - 5$ из $(2 k + 3) (2 k - 5)$ .

$\frac{(2 k - 5) (2 k + 3)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 5) (k + 7)}{2 k - 5} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 k - 5) (2 k + 3)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 5) (k + 7)}{2 k - 5} \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 k + 3}{k (k + 7)} (k (k - 5) (k + 7)) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $k (k + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $k (k + 7)$ из $k (k - 5) (k + 7)$ .

$\frac{2 k + 3}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 5)) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k + 3}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 5)) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$(2 k + 3) (k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $2 k + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель.

$(2 k + 3) (k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{(2 k + 3) (k - 6)}$

Этап 7.3.2

Перепишем это выражение.

$(k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{k - 6}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $k - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$(k - 5) \cdot \frac{(k - 7) (k - 6)}{k - 6}$

Этап 7.4.2

Разделим $k - 7$ на $1$ .

$(k - 5) \cdot (k - 7)$

Этап 8

Развернем $(k - 5) (k - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (k - 7) - 5 (k - 7)$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot - 7 - 5 (k - 7)$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot - 7 - 5 k - 5 \cdot - 7$

Этап 9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{2} + k \cdot - 7 - 5 k - 5 \cdot - 7$

Этап 9.1.2

Перенесем $- 7$ влево от $k$ .

$k^{2} - 7 \cdot k - 5 k - 5 \cdot - 7$

Этап 9.1.3

Умножим $- 5$ на $- 7$ .

$k^{2} - 7 k - 5 k + 35$

Этап 9.2

Вычтем $5 k$ из $- 7 k$ .

$k^{2} - 12 k + 35$