Элемент. математика Примеры

$(\frac{y^{2} + 15 y + 56}{y^{2} + 17 y + 72}) - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $y^{2} + 15 y + 56$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $56$ , а сумма — $15$ .

$7, 8$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{y^{2} + 17 y + 72} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Этап 1.2

Разложим $y^{2} + 17 y + 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $72$ , а сумма — $17$ .

$8, 9$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{(y + 8) (y + 9)} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{(y + 8) (y + 9)} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 7}{y + 9} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} + 7 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y \cdot y + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $y$ из $7 y$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y \cdot y + y \cdot 7}{y^{2} + 18 y + 81}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot 7$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 18 y + 81}$

Этап 1.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 18 y + 9^{2}}$

Этап 1.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 y = 2 \cdot y \cdot 9$

Этап 1.5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 9 + 9^{2}}$

Этап 1.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 9$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{y + 7}{y + 9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} \cdot \frac{y + 9}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(y + 9)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{y + 7}{y + 9}$ на $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{(y + 9) (y + 9)} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 3.2

Возведем $y + 9$ в степень $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1} (y + 9)} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 3.3

Возведем $y + 9$ в степень $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1} {(y + 9)}^{1}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1 + 1}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{2}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(y + 7) (y + 9) - y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $y + 7$ из $(y + 7) (y + 9) - y (y + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $y + 7$ из $- y (y + 7)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9) + (y + 7) (- y)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $y + 7$ из $(y + 7) (y + 9) + (y + 7) (- y)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9 - y)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 5.2

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{(y + 7) (0 + 9)}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $9$ .

$\frac{(y + 7) \cdot 9}{{(y + 9)}^{2}}$

Этап 6

Перенесем $9$ влево от $y + 7$ .

$\frac{9 (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$