Элемент. математика Примеры

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \div \frac{3}{p q}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $q$ из $p q + q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $q$ из $p q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $q$ из $q^{2}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q \cdot q} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $q$ из $q p + q \cdot q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + p q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p q}) \frac{p q}{3}$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $p$ из $p q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p (q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p (q)$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 4

Чтобы записать $- \frac{p^{2}}{q (p + q)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $p q (p + q)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ на $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{p^{2}}{q (p + q)}$ на $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{q (p + q) p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $q (p + q) p$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Развернем $(p^{2} + q^{2}) (p + q)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{p^{2} (p + q) + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $p^{2}$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Умножим $p^{2}$ на $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1.1

Возведем $p$ в степень $1$ .

$(\frac{p^{2} p^{1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{p^{2 + 1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.2.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $q^{2}$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Умножим $q^{2}$ на $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1.1

Возведем $q$ в степень $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q^{1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2 + 1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.3

Умножим $p^{2}$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Перенесем $p$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p \cdot p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.3.2

Умножим $p$ на $p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.2.1

Возведем $p$ в степень $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p^{1} p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{1 + 2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.4

Вычтем $p^{3}$ из $p^{3}$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3} + 0}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.5

Добавим $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ и $0$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.6

Вынесем множитель $q$ из $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Вынесем множитель $q$ из $p^{2} q$ .

$(\frac{q p^{2} + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.6.2

Вынесем множитель $q$ из $q^{2} p$ .

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.6.3

Вынесем множитель $q$ из $q^{3}$ .

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.6.4

Вынесем множитель $q$ из $q p^{2} + q (q p)$ .

$(\frac{q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.1.6.5

Вынесем множитель $q$ из $q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}$ .

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$(\frac{p^{2} + q p + q^{2}}{p (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 8.2

Объединим противоположные члены в $p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $q^{2}$ из $q^{2}$ .

$\frac{p^{2} + q p + 0}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 8.2.2

Добавим $p^{2} + q p$ и $0$ .

$\frac{p^{2} + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} + q p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2}$ .

$\frac{p \cdot p + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $p$ из $q p$ .

$\frac{p \cdot p + p q}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 8.3.3

Вынесем множитель $p$ из $p \cdot p + p q$ .

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 9

Сократим общий множитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 9.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $p + q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \frac{p q}{3}$

Этап 10

Умножим $\frac{p q}{3}$ на $1$ .

$\frac{p q}{3}$