Элемент. математика Примеры

$(\frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b} - 1) (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 a b}{4 a b}$ .

$(\frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b} - 1 \cdot \frac{4 a b}{4 a b}) (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $- 1$ и $\frac{4 a b}{4 a b}$ .

$(\frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b} + \frac{- (4 a b)}{4 a b}) (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(a + b)}^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(a + b)}^{2}$ в виде $(a + b) (a + b)$ .

$\frac{(a + b) (a + b) - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.2

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a + b) + b (a + b) - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a b + b (a + b) - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{a^{2} + a b + b a + b^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.3.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$\frac{a^{2} + a b + a b + b^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.3.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - (4 a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 (a b)}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.5

Вычтем $4 a b$ из $2 a b$ .

$\frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Переставляем члены.

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.6.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Этап 3.6.3

Перепишем многочлен.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 3.6.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + 1)$

Этап 4

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} (\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} + \frac{4 a b}{4 a b})$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{{(a - b)}^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(a - b)}^{2}$ в виде $(a - b) (a - b)$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{(a - b) (a - b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.2

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a (a - b) - b (a - b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - b (- b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Перенесем $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - b a + b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b}{4 a b}$

Этап 5.4

Добавим $- 2 a b$ и $4 a b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{4 a b}$

Этап 5.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Переставляем члены.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4 a b}$

Этап 5.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Этап 5.5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{4 a b}$

Этап 5.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{4 a b} \cdot \frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b}$

Этап 6

Объединим.

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a b (4 a b)}$

Этап 7

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $a$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 (a \cdot a) b (4 b)}$

Этап 7.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a^{2} b (4 b)}$

Этап 8

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a^{2} (b \cdot b) \cdot 4}$

Этап 8.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{4 a^{2} b^{2} \cdot 4}$

Этап 9

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a + b)}^{2}}{16 a^{2} b^{2}}$