Элемент. математика Примеры

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{m + n}{m - n}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{m - n}{m + n}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(m - n) (m + n)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{m + n}{m - n}$ на $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Этап 3.2

Умножим $\frac{m - n}{m + n}$ на $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(m - n) (m + n)$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $m + n$ в степень $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.2

Возведем $m + n$ в степень $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.5

Перепишем $(m - n) (m - n)$ в виде ${(m - n)}^{2}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = m + n$ и $b = m - n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Добавим $m$ и $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.2

Вычтем $n$ из $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.3

Добавим $2 m$ и $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.5

Умножим $- - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.5.2

Умножим $n$ на $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.6

Вычтем $m$ из $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.7

Добавим $n$ и $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.8

Добавим $n$ и $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 5.7.9

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 6

Умножим $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ на $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{m}{n}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.2

Чтобы записать $- \frac{n}{m}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $n m$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{m}{n}$ на $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{n}{m}$ на $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.3.3

Изменим порядок множителей в $n m$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Возведем $m$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.5.2

Возведем $m$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.5.5

Перепишем $n \cdot n$ в виде $n^{2}$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.5.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = m$ и $b = n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Объединим $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ и $4$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.6.2

Объединим $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ и $m$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.6.3

Объединим $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ и $n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.7

Сократим выражение $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.8.2

Разделим $(m + n) (m - n) \cdot 4$ на $1$ .

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.9

Развернем $(m + n) (m - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.10

Объединим противоположные члены в $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Изменим порядок множителей в членах $m (- n)$ и $n m$ .

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.10.2

Добавим $- m n$ и $m n$ .

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.10.3

Добавим $m \cdot m$ и $0$ .

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $m$ на $m$ .

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.11.3

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.3.1

Перенесем $n$ .

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.11.3.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.13

Перенесем $4$ влево от $m^{2}$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.14

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.15

Вынесем множитель $4$ из $4 m^{2} - 4 n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Вынесем множитель $4$ из $4 m^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.15.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 n^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.15.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ .

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Этап 7.16

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $m + n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Этап 8.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $m - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Этап 8.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4$