Элемент. математика Примеры

$\frac{3 y^{2}}{y^{2} - 4} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{y^{2} - 2^{2}} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 2$ .

$\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(y + 2) (y - 2), y - 2, y + 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y + 2$ является само значение $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y + 2$ является само значение $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $y + 2, y - 2, y - 2, y + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 2) (y - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$ умножим на $(y + 2) (y - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$ на $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} ((y + 2) (y - 2)) = \frac{3}{y - 2} ((y + 2) (y - 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $(y + 2) (y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2}}{(y + 2) (y - 2)} ((y + 2) (y - 2)) = \frac{3}{y - 2} ((y + 2) (y - 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} = \frac{3}{y - 2} ((y + 2) (y - 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y + 2) (y - 2)$ .

$3 y^{2} = \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} = \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} = 3 (y + 2) + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} = 3 y + 3 \cdot 2 + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} = 3 y + 6 + \frac{4 y}{y + 2} ((y + 2) (y - 2))$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y (y - 2)$

Этап 3.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y \cdot y + 4 y \cdot - 2$

Этап 3.3.1.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем $y$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 (y \cdot y) + 4 y \cdot - 2$

Этап 3.3.1.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y^{2} + 4 y \cdot - 2$

Этап 3.3.1.7

Умножим $- 2$ на $4$ .

$3 y^{2} = 3 y + 6 + 4 y^{2} - 8 y$

Этап 3.3.2

Вычтем $8 y$ из $3 y$ .

$3 y^{2} = - 5 y + 6 + 4 y^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 5 y + 6 + 4 y^{2} = 3 y^{2}$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y + 6 + 4 y^{2} - 3 y^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $3 y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$- 5 y + 6 + y^{2} = 0$

Этап 4.3

Разложим $- 5 y + 6 + y^{2}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 3) (y - 2) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 3 = 0$

$y - 2 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 4.6

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 3) (y - 2) = 0$ верно.

$y = 3, 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 y^{2}}{y^{2} - 4} = \frac{3}{y - 2} + \frac{4 y}{y + 2}$ истинным.

$y = 3$