Элемент. математика Примеры

$\frac{2}{y + 8} + \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 8, y - 2, 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.5

НОК $1, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 1.6

Множителем $y + 8$ является само значение $y + 8$ .

$(y + 8) = y + 8$

$(y + 8)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $y + 8, y - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 8) (y - 2)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (y + 8) (y - 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{y + 8} + \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3}$ умножим на $3 (y + 8) (y - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{y + 8} + \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3}$ на $3 (y + 8) (y - 2)$ .

$\frac{2}{y + 8} (3 (y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3 \frac{2}{y + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{y + 8}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $y + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{y + 8} ((y + 8) (y - 2)) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 (y - 2) + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y + 6 \cdot - 2 + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $6$ на $- 2$ .

$6 y - 12 + \frac{1}{y - 2} (3 (y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 y - 12 + 3 \frac{1}{y - 2} ((y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.7

Объединим $3$ и $\frac{1}{y - 2}$ .

$6 y - 12 + \frac{3}{y - 2} ((y + 8) (y - 2)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y + 8) (y - 2)$ .

$6 y - 12 + \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 8)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$6 y - 12 + \frac{3}{y - 2} ((y - 2) (y + 8)) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$6 y - 12 + 3 (y + 8) = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$6 y - 12 + 3 y + 3 \cdot 8 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $3$ на $8$ .

$6 y - 12 + 3 y + 24 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $6 y$ и $3 y$ .

$9 y - 12 + 24 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 12$ и $24$ .

$9 y + 12 = \frac{1}{3} (3 (y + 8) (y - 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (y + 8) (y - 2)$ .

$9 y + 12 = \frac{1}{3} (3 ((y + 8) (y - 2)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$9 y + 12 = \frac{1}{3} (3 ((y + 8) (y - 2)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$9 y + 12 = (y + 8) (y - 2)$

Этап 2.3.2

Развернем $(y + 8) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 y + 12 = y (y - 2) + 8 (y - 2)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 y + 12 = y \cdot y + y \cdot - 2 + 8 (y - 2)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 y + 12 = y \cdot y + y \cdot - 2 + 8 y + 8 \cdot - 2$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$9 y + 12 = y^{2} + y \cdot - 2 + 8 y + 8 \cdot - 2$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$9 y + 12 = y^{2} - 2 \cdot y + 8 y + 8 \cdot - 2$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $8$ на $- 2$ .

$9 y + 12 = y^{2} - 2 y + 8 y - 16$

Этап 2.3.3.2

Добавим $- 2 y$ и $8 y$ .

$9 y + 12 = y^{2} + 6 y - 16$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} + 6 y - 16 = 9 y + 12$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $9 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 6 y - 16 - 9 y = 12$

Этап 3.2.2

Вычтем $9 y$ из $6 y$ .

$y^{2} - 3 y - 16 = 12$

Этап 3.3

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 3 y - 16 - 12 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $12$ из $- 16$ .

$y^{2} - 3 y - 28 = 0$

Этап 3.5

Разложим $y^{2} - 3 y - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 28$ , а сумма — $- 3$ .

$- 7, 4$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 7) (y + 4) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 7 = 0$

$y + 4 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $y - 7$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $y - 7$ к $0$ .

$y - 7 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y = 7$

Этап 3.8

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 7) (y + 4) = 0$ верно.

$y = 7, - 4$