Элемент. математика Примеры

$\frac{15}{y - 1} - \frac{16}{y + 2} = 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, y + 2, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $y - 1$ является само значение $y - 1$ .

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $y + 2$ является само значение $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $y - 1, y + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 1) (y + 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{15}{y - 1} - \frac{16}{y + 2} = 1$ умножим на $(y - 1) (y + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{15}{y - 1} - \frac{16}{y + 2} = 1$ на $(y - 1) (y + 2)$ .

$\frac{15}{y - 1} ((y - 1) (y + 2)) - \frac{16}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{y - 1} ((y - 1) (y + 2)) - \frac{16}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$15 (y + 2) - \frac{16}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$15 y + 15 \cdot 2 - \frac{16}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.3

Умножим $15$ на $2$ .

$15 y + 30 - \frac{16}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16}{y + 2}$ в числитель.

$15 y + 30 + \frac{- 16}{y + 2} ((y - 1) (y + 2)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.4.2

Вынесем множитель $y + 2$ из $(y - 1) (y + 2)$ .

$15 y + 30 + \frac{- 16}{y + 2} ((y + 2) (y - 1)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$15 y + 30 + \frac{- 16}{y + 2} ((y + 2) (y - 1)) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$15 y + 30 - 16 (y - 1) = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$15 y + 30 - 16 y - 16 \cdot - 1 = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$15 y + 30 - 16 y + 16 = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $16 y$ из $15 y$ .

$- y + 30 + 16 = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $30$ и $16$ .

$- y + 46 = 1 ((y - 1) (y + 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $(y - 1) (y + 2)$ на $1$ .

$- y + 46 = (y - 1) (y + 2)$

Этап 2.3.2

Развернем $(y - 1) (y + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y + 46 = y (y + 2) - 1 (y + 2)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y + 46 = y \cdot y + y \cdot 2 - 1 (y + 2)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y + 46 = y \cdot y + y \cdot 2 - 1 y - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$- y + 46 = y^{2} + y \cdot 2 - 1 y - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- y + 46 = y^{2} + 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$- y + 46 = y^{2} + 2 y - y - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- y + 46 = y^{2} + 2 y - y - 2$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $y$ из $2 y$ .

$- y + 46 = y^{2} + y - 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} + y - 2 = - y + 46$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} + y - 2 + y = 46$

Этап 3.2.2

Добавим $y$ и $y$ .

$y^{2} + 2 y - 2 = 46$

Этап 3.3

Вычтем $46$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 2 y - 2 - 46 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $46$ из $- 2$ .

$y^{2} + 2 y - 48 = 0$

Этап 3.5

Разложим $y^{2} + 2 y - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $2$ .

$- 6, 8$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 6) (y + 8) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 8 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

Этап 3.8

Приравняем $y + 8$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $y + 8$ к $0$ .

$y + 8 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$y = - 8$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 6) (y + 8) = 0$ верно.

$y = 6, - 8$