Элемент. математика Примеры

$y^{2} - \sqrt{y^{2}} - | y - 2 | - 11 = 0$

Этап 1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y^{2} - y - | y - 2 | - 11 = 0$

Этап 2

Перенесем все члены без $| y - 2 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y - | y - 2 | - 11 = - y^{2}$

Этап 2.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- | y - 2 | - 11 = - y^{2} + y$

Этап 2.3

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$

Этап 3

Разделим каждый член $- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$ на $- 1$ .

$\frac{- | y - 2 |}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| y - 2 |}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $| y - 2 |$ на $1$ .

$| y - 2 | = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| y - 2 | = \frac{y^{2}}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.3.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$| y - 2 | = y^{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y}{- 1}$ .

$| y - 2 | = y^{2} - 1 \cdot y + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot y$ в виде $- y$ .

$| y - 2 | = y^{2} - y + \frac{11}{- 1}$

Этап 3.3.1.5

Разделим $11$ на $- 1$ .

$| y - 2 | = y^{2} - y - 11$

Этап 4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm (y^{2} - y - 11)$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 2 = y^{2} - y - 11$

Этап 5.2

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} - y - 11 = y - 2$

Этап 5.3

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - 11 - y = - 2$

Этап 5.3.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$y^{2} - 2 y - 11 = - 2$

Этап 5.4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 2 y - 11 + 2 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $- 11$ и $2$ .

$y^{2} - 2 y - 9 = 0$

Этап 5.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.3

Добавим $4$ и $36$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.4

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Этап 5.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{10}$

Этап 5.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}$

Этап 5.9

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 2 = - (y^{2} - y - 11)$

Этап 5.10

$- (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Этап 5.11

Упростим $- (y^{2} - y - 11)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Перепишем.

$0 + 0 - (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Этап 5.11.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Этап 5.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y^{2} - - y - - 11 = y - 2$

Этап 5.11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- y^{2} + 1 y - - 11 = y - 2$

Этап 5.11.4.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$- y^{2} + y - - 11 = y - 2$

Этап 5.11.4.2

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$- y^{2} + y + 11 = y - 2$

Этап 5.12

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} + y + 11 - y = - 2$

Этап 5.12.2

Объединим противоположные члены в $- y^{2} + y + 11 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$- y^{2} + 0 + 11 = - 2$

Этап 5.12.2.2

Добавим $- y^{2}$ и $0$ .

$- y^{2} + 11 = - 2$

Этап 5.13

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = - 2 - 11$

Этап 5.13.2

Вычтем $11$ из $- 2$ .

$- y^{2} = - 13$

Этап 5.14

Разделим каждый член $- y^{2} = - 13$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Разделим каждый член $- y^{2} = - 13$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Этап 5.14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Этап 5.14.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 13}{- 1}$

Этап 5.14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.3.1

Разделим $- 13$ на $- 1$ .

$y^{2} = 13$

Этап 5.15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{13}$

Этап 5.16

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{13}$

Этап 5.16.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{13}$

Этап 5.16.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Этап 5.17

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $y^{2} - \sqrt{y^{2}} - | y - 2 | - 11 = 0$ истинным.

$y = 1 + \sqrt{10}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = 1 + \sqrt{10}$

Десятичная форма:

$y = 4.16227766 \dots$