Элемент. математика Примеры

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16 y + 1}$ в виде ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ в виде $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ .

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{7 y}$ в степень $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Возведем $\sqrt{7 y}$ в степень $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{7 y}}^{2}$ в виде $7 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y}$ в виде ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $7$ на $4$ .

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2 \sqrt{7 y}$ из $- 2 \sqrt{7 y}$ .

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

Этап 3

Решим относительно $- 4 \sqrt{7 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ .

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $- 4 \sqrt{7 y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $28 y$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

Этап 3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $16 y + 1 - 28 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

Этап 3.2.3.2

Добавим $16 y - 28 y$ и $0$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

Этап 3.2.4

Вычтем $28 y$ из $16 y$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 y}$ в виде ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $7 y$ .

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим правило умножения к $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим правило умножения к $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Найдем экспоненту.

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $16$ на $7$ .

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.7

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.2.1.8

Упростим.

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(- 12 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $- 12 y$ .

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$112 y = 144 y^{2}$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $144 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$112 y - 144 y^{2} = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$112 u - 144 u^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $16 u$ из $112 u - 144 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $16 u$ из $112 u$ .

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем множитель $16 u$ из $- 144 u^{2}$ .

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $16 u$ из $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ .

$16 u (7 - 9 u) = 0$

Этап 6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$16 y (7 - 9 y) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

Этап 6.4

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 6.5

Приравняем $7 - 9 y$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $7 - 9 y$ к $0$ .

$7 - 9 y = 0$

Этап 6.5.2

Решим $7 - 9 y = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y = - 7$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $- 9 y = - 7$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 9 y = - 7$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Этап 6.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 9}$

Этап 6.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{7}{9}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $16 y (7 - 9 y) = 0$ верно.

$y = 0, \frac{7}{9}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ истинным.

$y = \frac{7}{9}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{7}{9}$

Десятичная форма:

$y = 0.\overline{7}$