Элемент. математика Примеры

$\sqrt{y^{2} - 1} = 1 + y$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{2} - 1}$ в виде ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{2} - 1)}^{1} = {(1 + y)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$y^{2} - 1 = {(1 + y)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(1 + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(1 + y)}^{2}$ в виде $(1 + y) (1 + y)$ .

$y^{2} - 1 = (1 + y) (1 + y)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(1 + y) (1 + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 1 = 1 (1 + y) + y (1 + y)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y \cdot y$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $y$ и $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 2 y + y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$1 + 2 y + y^{2} = y^{2} - 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$1 + 2 y + y^{2} - y^{2} = - 1$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $1 + 2 y + y^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$1 + 2 y + 0 = - 1$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1 + 2 y$ и $0$ .

$1 + 2 y = - 1$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = - 1 - 1$

Этап 3.3.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$2 y = - 2$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 y = - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 y = - 2$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$y = - 1$