Элемент. математика Примеры

$\frac{3 + 4 s}{2} = 2 \sqrt{1 + s}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$2 \sqrt{1 + s} = \frac{3 + 4 s}{2}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{1 + s})}^{2} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + s}$ в виде ${(1 + s)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(1 + s)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(2 {(1 + s)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(1 + s)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(1 + s)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(1 + s)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(1 + s)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(1 + s)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(1 + s)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(1 + s)}^{1} = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$4 (1 + s) = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 s = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 s = {(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\frac{3 + 4 s}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3 + 4 s}{2}$ .

$4 + 4 s = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{2^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 + 4 s = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4}$

Этап 4

Решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $4$ .

$(4 + 4 s) \cdot 4 = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4} \cdot 4$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $(4 + 4 s) \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 s \cdot 4 = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4} \cdot 4$

Этап 4.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 4 s \cdot 4 = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4} \cdot 4$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 16 s = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4} \cdot 4$

Этап 4.2.1.1.2.3

Изменим порядок $16$ и $16 s$ .

$16 s + 16 = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4} \cdot 4$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$16 s + 16 = \frac{{(3 + 4 s)}^{2}}{4} \cdot 4$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$16 s + 16 = {(3 + 4 s)}^{2}$

Этап 4.3

Решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(3 + 4 s)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем.

$16 s + 16 = 0 + 0 + {(3 + 4 s)}^{2}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем ${(3 + 4 s)}^{2}$ в виде $(3 + 4 s) (3 + 4 s)$ .

$16 s + 16 = (3 + 4 s) (3 + 4 s)$

Этап 4.3.1.3

Развернем $(3 + 4 s) (3 + 4 s)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 s + 16 = 3 (3 + 4 s) + 4 s (3 + 4 s)$

Этап 4.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 s + 16 = 3 \cdot 3 + 3 (4 s) + 4 s (3 + 4 s)$

Этап 4.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 s + 16 = 3 \cdot 3 + 3 (4 s) + 4 s \cdot 3 + 4 s (4 s)$

Этап 4.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$16 s + 16 = 9 + 3 (4 s) + 4 s \cdot 3 + 4 s (4 s)$

Этап 4.3.1.4.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$16 s + 16 = 9 + 12 s + 4 s \cdot 3 + 4 s (4 s)$

Этап 4.3.1.4.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$16 s + 16 = 9 + 12 s + 12 s + 4 s (4 s)$

Этап 4.3.1.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 s + 16 = 9 + 12 s + 12 s + 4 \cdot 4 s \cdot s$

Этап 4.3.1.4.1.5

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1.5.1

Перенесем $s$ .

$16 s + 16 = 9 + 12 s + 12 s + 4 \cdot 4 (s \cdot s)$

Этап 4.3.1.4.1.5.2

Умножим $s$ на $s$ .

$16 s + 16 = 9 + 12 s + 12 s + 4 \cdot 4 s^{2}$

Этап 4.3.1.4.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$16 s + 16 = 9 + 12 s + 12 s + 16 s^{2}$

Этап 4.3.1.4.2

Добавим $12 s$ и $12 s$ .

$16 s + 16 = 9 + 24 s + 16 s^{2}$

Этап 4.3.2

Поскольку $s$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 + 24 s + 16 s^{2} = 16 s + 16$

Этап 4.3.3

Перенесем все члены с $s$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $16 s$ из обеих частей уравнения.

$9 + 24 s + 16 s^{2} - 16 s = 16$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $16 s$ из $24 s$ .

$9 + 16 s^{2} + 8 s = 16$

Этап 4.3.4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$9 + 16 s^{2} + 8 s - 16 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $16$ из $9$ .

$16 s^{2} + 8 s - 7 = 0$

Этап 4.3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.6

Подставим значения $a = 16$ , $b = 8$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $s$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (16 \cdot - 7)}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$s = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 16 \cdot - 7}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$s = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64 \cdot - 7}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.1.2.2

Умножим $- 64$ на $- 7$ .

$s = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 448}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.1.3

Добавим $64$ и $448$ .

$s = \frac{- 8 \pm \sqrt{512}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.1.4

Перепишем $512$ в виде $16^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.4.1

Вынесем множитель $256$ из $512$ .

$s = \frac{- 8 \pm \sqrt{256 (2)}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.1.4.2

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$s = \frac{- 8 \pm \sqrt{16^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$s = \frac{- 8 \pm 16 \sqrt{2}}{2 \cdot 16}$

Этап 4.3.7.2

Умножим $2$ на $16$ .

$s = \frac{- 8 \pm 16 \sqrt{2}}{32}$

Этап 4.3.7.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 16 \sqrt{2}}{32}$ .

$s = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 4.3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$s = - \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{4}, - \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{3 + 4 s}{2} = 2 \sqrt{1 + s}$ истинным.

$s = - \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$s = - \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$s = 0.45710678 \dots$