Элемент. математика Примеры

$p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $- 4^{4} \sqrt{p}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $p$ из обеих частей уравнения.

$- 4^{4} \sqrt{p} - 5 = - p$

Этап 1.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 4^{4} \sqrt{p} = - p + 5$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4^{4} \sqrt{p})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{p}$ в виде $p^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

${(- 1 \cdot 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $256$ .

${(- 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Применим правило умножения к $- 256 p^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 256)}^{2} {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Возведем $- 256$ в степень $2$ .

$65536 {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Перемножим экспоненты в ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$65536 p^{1} = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.6

Упростим.

$65536 p = {(- p + 5)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- p + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- p + 5)}^{2}$ в виде $(- p + 5) (- p + 5)$ .

$65536 p = (- p + 5) (- p + 5)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- p + 5) (- p + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$65536 p = - p (- p + 5) + 5 (- p + 5)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p + 5)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p \cdot p - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 (p \cdot p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $p$ на $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$65536 p = 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $p^{2}$ на $1$ .

$65536 p = p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 5 \cdot 5$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $5$ на $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 25$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $5 p$ из $- 5 p$ .

$65536 p = p^{2} - 10 p + 25$

Этап 4

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $p$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$p^{2} - 10 p + 25 = 65536 p$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $65536 p$ из обеих частей уравнения.

$p^{2} - 10 p + 25 - 65536 p = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $65536 p$ из $- 10 p$ .

$p^{2} - 65546 p + 25 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 65546$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $p$ .

$\frac{65546 \pm \sqrt{{(- 65546)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 65546$ в степень $2$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $100$ из $4296278116$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278016}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $4296278016$ в виде $1536^{2} \cdot 1821$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $2359296$ из $4296278016$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{2359296 (1821)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $2359296$ в виде $1536^{2}$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{1536^{2} \cdot 1821}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$ .

$p = 32773 \pm 768 \sqrt{1821}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}, 32773 - 768 \sqrt{1821}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$ истинным.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Десятичная форма:

$p = 65545.99961858 \dots$