Элемент. математика Примеры

$4 - \frac{5}{v + 4} = \frac{1}{v + 1}$

Этап 1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{5}{v + 4} = \frac{1}{v + 1} - 4$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v + 4, v + 1, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $v + 4$ является само значение $v + 4$ .

$(v + 4) = v + 4$

$(v + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $v + 1$ является само значение $v + 1$ .

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $v + 4, v + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(v + 4) (v + 1)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{5}{v + 4} = \frac{1}{v + 1} - 4$ умножим на $(v + 4) (v + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{5}{v + 4} = \frac{1}{v + 1} - 4$ на $(v + 4) (v + 1)$ .

$- \frac{5}{v + 4} ((v + 4) (v + 1)) = \frac{1}{v + 1} ((v + 4) (v + 1)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $v + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{v + 4}$ в числитель.

$\frac{- 5}{v + 4} ((v + 4) (v + 1)) = \frac{1}{v + 1} ((v + 4) (v + 1)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{v + 4} ((v + 4) (v + 1)) = \frac{1}{v + 1} ((v + 4) (v + 1)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 5 (v + 1) = \frac{1}{v + 1} ((v + 4) (v + 1)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 v - 5 \cdot 1 = \frac{1}{v + 1} ((v + 4) (v + 1)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.2.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5 v - 5 = \frac{1}{v + 1} ((v + 4) (v + 1)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $v + 1$ из $(v + 4) (v + 1)$ .

$- 5 v - 5 = \frac{1}{v + 1} ((v + 1) (v + 4)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- 5 v - 5 = \frac{1}{v + 1} ((v + 1) (v + 4)) - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 ((v + 4) (v + 1))$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(v + 4) (v + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v (v + 1) + 4 (v + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v \cdot v + v \cdot 1 + 4 (v + 1))$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v \cdot v + v \cdot 1 + 4 v + 4 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $v$ на $v$ .

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v^{2} + v \cdot 1 + 4 v + 4 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $v$ на $1$ .

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v^{2} + v + 4 v + 4 \cdot 1)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v^{2} + v + 4 v + 4)$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $v$ и $4 v$ .

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 (v^{2} + 5 v + 4)$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 v^{2} - 4 (5 v) - 4 \cdot 4$

Этап 3.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $5$ на $- 4$ .

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 v^{2} - 20 v - 4 \cdot 4$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- 5 v - 5 = v + 4 - 4 v^{2} - 20 v - 16$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $20 v$ из $v$ .

$- 5 v - 5 = - 19 v + 4 - 4 v^{2} - 16$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $16$ из $4$ .

$- 5 v - 5 = - 19 v - 4 v^{2} - 12$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $v$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 19 v - 4 v^{2} - 12 = - 5 v - 5$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $v$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $5 v$ к обеим частям уравнения.

$- 19 v - 4 v^{2} - 12 + 5 v = - 5$

Этап 4.2.2

Добавим $- 19 v$ и $5 v$ .

$- 14 v - 4 v^{2} - 12 = - 5$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 14 v - 4 v^{2} - 12 + 5 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $- 12$ и $5$ .

$- 14 v - 4 v^{2} - 7 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = - 4$ , $b = - 14$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $v$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 7)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$v = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$v = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 16 \cdot - 7}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $16$ на $- 7$ .

$v = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 112}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $112$ из $196$ .

$v = \frac{14 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$v = \frac{14 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$v = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$v = \frac{14 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 4}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$v = \frac{14 \pm 2 \sqrt{21}}{- 8}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{14 \pm 2 \sqrt{21}}{- 8}$ .

$v = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{- 4}$

Этап 4.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{7 \pm \sqrt{21}}{4}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$v = - \frac{7 + \sqrt{21}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{21}}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$v = - \frac{7 + \sqrt{21}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{21}}{4}$

Десятичная форма:

$v = - 2.89564392 \dots, - 0.60435607 \dots$